Mijn minachting voor Cantor’s “diagonale bewijs”.

[Peter van Velzen]

Zie Diagonaalbewijs van Cantor

In de Engelse wikipedia-versie wordt niet gesproken van een bewijs, maar van een argument. Ik iK vermoed dat zulks correcter is.

In een reactie op Ivar, beschreef ik dit argument nogal laatdunkend, als een voorbeeld van hoe wiskundigen onmogelijke zaken gebruiken om hun vak te bedrijven. Uiteraard kwam mij dat te staan op kritiek van Tiberius Claudius, maar ik wil eerst een vraag van Mullog beantwoorden. Omdat het antwoord daarop duidelijk maakt waarop Tiberius Claudius zijn eerste kritiekpunt waarschijnlijk baseert.

... mbv een oneindig lange diagonaal (die er geen is, omdat de lijst langer is dan breed) ,,,

Is daar een bewijs van, dat die lijst langer is dan breed?

Wellicht geen bewijs dat een wiskundige overtuigt, maar wel een redenatie die iedere forumdeelnemer moet kunnen volgen.

Als we alle mogelijke decimale waardes tussen 0 en 1, opbouwen als een verzameling van toenemende lengte. Krijgen we om te beginnen de volgende reeks voor alle getallen met slechts één decimaal:

1 = 0,1
2 = 0,2
3 = 0,3
4 = 0,4
5 = 0.5
6 = 0,6
7 = 0,7
8 = 0,8
9 = 0.9

Het is direct duidelijk dat deze lijst langer is (9 rijen) dan ze breed is (achter de komma slechts één cijfer). Wordt dit anders als we alle getallen toevoegen die een tweede decimaal nodig hebben?
Ik voeg die bewust toe in die volgorde die er voor zorgt dat de getallen in zekere zin het spiegelbeeld van hun volgnummer zijn. Ik zal later uitleggen waarom.

10 = 0,01
11 = 0,11
12 = 0,21

etcetera tot en met:

98 = 0,89
99 = 0,99


In de lengte hebben we nu 99 rijen. Ruim 10 maal zoveel als voorheen, en in de breedte slechts 2 cyfers achter de komma. Waar de lijst dus eerst 9 maal langer was dan breed. Is ze nu reeds meer dan 49 keer zo lang als ze breed is.

Gaan we over tot het derde decimaal, dan krijgen we dus:

100 = 0,001
101 = 0,101
102 = 0,201

Enzovoorts tot en met:

998 = 0,899
999 = 0,999

De rij is nu dus 333 maal zo lang als ze breed is.

We kunnen dit alsmaar blijven doen, en terwijl de breedte bij n decimalen slechts toeneemt met de factor n/(n-1) (voor n gaat naar oneindig is de limiet daarvan 1). neemt de lengte ervan telkens toe met de factor ((10 tot macht n) – 1) / ((10 tot de macht n-1) -1) (voor n gaat naar oneindig is de limiet dáárvan meen ik 10.) Maar ik laat me graag door Tiberius Claudius verbeteren). In elke geval groeit de lengte er van bij elke stap méér dan de breedte. Misschien dat iemand kan uitleggen op welk moment dat verandert, maar ik zou het niet kunnen bedenken.

Nu over Tiberius’ eerste drie kritiekpunten:

En dat terwijl hun oneindige decimalen in mijn ogen slechts rationele getallen zijn met de vorm (n/10 in de macht m), waarbij n zowel als m naar oneindig gaan (maar er uiteraard nooit komen

Dacht je dat nu heus???
Zitten wat denk fouten in een paar er van:

1. Neem een ander talstelsel en er ontstaat een ander beeld.
2. Wel eens van de limiet waarde gehoord?
3. Dat getallen door beperkingen van het decimale systeem daarin niet correct kunnen worden weergegeven, betekent niet dat ze niet bestaan.





n. Je verwart wiskundige formules met fysische formules over die laatsten gaan de wiskundigen niet.

Als ik het binaire talstelsel gebruik (dat doet de Nederlandse Wikipedia pagina óók) ontstaat dit beeld:

1 = 0,1

Deze lijst is even lang (één rij) als ze breed is (een cijfer achter de komma)

10 = 0,01
11 = 0,11

De lijst is nu 3 rijen lang en slechts 2 cijfers breed. We gaan verder:

100 = 0,001
101 = 0,101
110 = 0,110
111 = 0,111

De lijst is nu 7 rijen lang en 3 cijfers breed.

Het oogt wat compacter maar ook in deze notatie wordt de lijst bij elke volgende positie achter de komma verhoudingsgewijs langer ten opzichte van de breedte.

Heb ik wel eens van een limiet gehoord?
Ja, en de limiet van de verhouding waarnee de lengte toeneemt bij elk toegevoegd cijfer ten opzichte van de breedte het aantal cijfers na de komma naar oneindig gaat is in het binaire stelsel – meen ik – 2. De limiet voor iets dat naar oneindig gaat wordt echter nimmer bereikt alleen zo dicht benaderd als men maar wil. Er is immers geen einde. (vandaar oneindig)

Dat irrationele getallen door beperkingen van het decimale systeem daarin niet correct kunnen worden weergegeven, betekent inderdaad niet dat ze niet bestaan. Ik tart je echter te bewijzen dat de beoogde lijst iets anders kan bevatten dan rationele getallen van het type n / (b in de macht m). waarbij b de basis van het betreffende talstelsel is. Ik zou groot respect hebben voor eenieder die me daarvan kan overtuigen.

Notabene, ik heb het hier alléén over wiskunde. Niet over fysica.

Nu nog even uitleggen waarom ik lijst bewust opbouwde als spiegelbeeld van het volgnummer. De rationele getallen worden geacht dezelfde kardinaliteit te hebben als de natuurlijke getallen omdat je ze volgens een bekend algoritme kunt opbouwen. Als men Cantors “diagonale” argument presenteert doet men dat doorgaans in een random volgorde omdat er geen kleinste getal bestaat. Dat er geen kleinste getal bestaat is echter – natuurlijk - ook waar voor de rationele getallen. Immers zou men er een opschrijven (in de vorm n/m, waarbij n en m natuurlijke getallen zijn dan is eenvoudig te bewijzen dat er een kleiner getal moet bestaan, door eenvoudig één bij m op te tellen.
Ik toon echter aan dat men de decimale getallen ook via een vast algoritme kan opbouwen en tevens dat de koppeling met de natuurlijke getallen ontzettend eenvoudig is.

Overigens had Cantor al eerder een bewijs gepubliceert dat de grotere kardinaliteit van de reële getallen zou aantonen. Dat bewijs is voor mij echter moeilijk te volgen. Ik zie met name niet in waarom het niet ook op zou gaan voor rationele getallen. Maar misschien heb ik dat eenvoudigweg gemist. Ik ben tenslotte geen afgestudeerd wiskundige.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Wat niet mag en toch gebeurd is eigenschappen die EINDIGE hoeveelheden gelden zonder meer op ONEINDIGE hoeveelheden geldig te verklaren. Daarmee is het eigenlijk wel gezegd.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Nog even dit.

Een oneindigheid met een grotere machtigheid als de reële getallen laat zich gemakkelijk realiseren.
De verzameling van alle reële continue functies op het interval [0,1] is er zo eentje.

[axxyanus]

Ik begrijp niet zo goed waar je met je openingspost naar toe wil.

Het diagonaal bewijs van Cantor is een bewijs uit het ongerijmde. We gaan ervan uit dat we een bijectie hebben kunnen vormen tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen en construeren dan een reëel getal waar geen natuurlijk getal bij hoort.

De lijst die jij opbouwt is al opvoorhand geen geschikte lijst want we kunnen al op voorhand vaststellen dat er reële getallen zijn waar geen natuurlijk getal bij hoort. √2 staat niet in jouw lijst maar ook ⅓ staat niet in jouw lijst. Jouw lijst is dus duidelijk geen bijectie tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen en daardoor gewoon een illustratie van wat Cantor bewees.

[axxyanus]

De reden dus waarom men in het bewijs van Cantor een willekeurig lijst neemt, is omdat zowat elke geconstrueerde lijst met een beetje onderzoek al opvoorhand getallen oplevert die niet in de lijst staan waardoor hij al op voorhand niet voldoet aan de premisse die men wil ontkrachten.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik begrijp niet zo goed waar je met je openingspost naar toe wil.

Het diagonaal bewijs van Cantor is een bewijs uit het ongerijmde. We gaan ervan uit dat we een bijectie hebben kunnen vormen tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen en construeren dan een reëel getal waar geen natuurlijk getal bij hoort.

De lijst die jij opbouwt is al opvoorhand geen geschikte lijst want we kunnen al op voorhand vaststellen dat er reële getallen zijn waar geen natuurlijk getal bij hoort. √2 staat niet in jouw lijst maar ook ⅓ staat niet in jouw lijst. Jouw lijst is dus duidelijk geen bijectie tussen de natuurlijke getallen en de reële getallen en daardoor gewoon een illustratie van wat Cantor bewees.

Dit is wat ik bedoelde met een ander beeld per talstelsel.
En beweert dat er slecht een eindig aantal decimalen mogen.

1/3 komt niet voor als men tientallig werkt.

Wel komt 1/3 voor als men twaalftallig werkt maar dan zit 1/5 er weer niet in.

[Mullog]

Als (mede?) aanstichter van dit topic (althans, zo voel ik dat een beetje) begrijp ik de redenatie van Peter en denk ik dat het vermoeden van Peter dat de lijst sneller in de lengte groeit dan in de breedte, klopt.

Ik begrijp misschien niet in de diepte wat Tiberius Claudius naar voren brengt maar het komt op mij over als dat je geen uitspraak kunt doen over wat er in oneindigheid gebeurt op basis van wat er binnen een eindig interval van mogelijkheden gebeurt.

Ik heb laatst een stukje over de Riemann hypothese gelezen waarbij men van een paar miljard (of was het triljard?) getallen had aangetoond dat de hypothese waar is. Maar dat is geen bewijs. Zoiets denk ik.

In ieders geval bedankt voor de moeite voor deze uitleg.

[axxyanus]

Zie Diagonaalbewijs van Cantor

In de Engelse wikipedia-versie wordt niet gesproken van een bewijs, maar van een argument. Ik iK vermoed dat zulks correcter is.

In een reactie op Ivar, beschreef ik dit argument nogal laatdunkend, als een voorbeeld van hoe wiskundigen onmogelijke zaken gebruiken om hun vak te bedrijven. Uiteraard kwam mij dat te staan op kritiek van Tiberius Claudius, maar ik wil eerst een vraag van Mullog beantwoorden. Omdat het antwoord daarop duidelijk maakt waarop Tiberius Claudius zijn eerste kritiekpunt waarschijnlijk baseert.

... mbv een oneindig lange diagonaal (die er geen is, omdat de lijst langer is dan breed) ,,,

Is daar een bewijs van, dat die lijst langer is dan breed?

Wellicht geen bewijs dat een wiskundige overtuigt, maar wel een redenatie die iedere forumdeelnemer moet kunnen volgen.

Als we alle mogelijke decimale waardes tussen 0 en 1, opbouwen als een verzameling van toenemende lengte. Krijgen we om te beginnen de volgende reeks voor alle getallen met slechts één decimaal:

1 = 0,1
2 = 0,2
3 = 0,3
4 = 0,4
5 = 0.5
6 = 0,6
7 = 0,7
8 = 0,8
9 = 0.9

Het is direct duidelijk dat deze lijst langer is (9 rijen) dan ze breed is (achter de komma slechts één cijfer).

Ok, ik heb nu wat beter door waar dit om gaat. Het antwoord op je bovenstaande opmerking is dat je je laat misleiden door het feit dat eens de rest van de decimale expansie allemaal nullen zijn, we die niet meer schrijven. Maar als we vragen wat het 3de cijfer na de komma is van 1/10 dan is dat geen onzinige vraag en is het antwoord 0. Wiskundig gezien hebben alle getallen een oneidig aantal decimalen. We kunnen uw tabel dus evengoed als volgt schrijven:

1 ➔ 0,1000000000
2 ➔ 0,2000000000
3 ➔ 0,3000000000
4 ➔ 0,4000000000
5 ➔ 0,5000000000
6 ➔ 0,6000000000
7 ➔ 0,7000000000
8 ➔ 0,8000000000
9 ➔ 0,9000000000

Waar het om gaat is dat als ik c_ij definieer als het jde cijfer na de decimale komma van het ide getal in je lijst, dat als jij een aftelbare lijst getallen geeft, dat dan c_ij gedefinieerd is voor elke koppel natuurlijke getallen i en j en dus ook elk cijfer op de diagonaal zijnde d_i = c_ii gedefinieerd is.

[Peter van Velzen]

Wat niet mag en toch gebeurd is eigenschappen die EINDIGE hoeveelheden gelden zonder meer op ONEINDIGE hoeveelheden geldig te verklaren. Daarmee is het eigenlijk wel gezegd.

Dat doe ik in feite niet. Ik laat alleen zien dat met één uitizondering bij geen enkel aantal cijfers achter de komma alle getallen voorkomen in het aantal rijen dat gelijk is aan het aantal cijfers. Cantor bewees dat dit ook geldt voor een oneindig aantal cijfers achter de komma. Had hij dat dus niet mogen doen?

@axxyanus: Het aantal achterliggende nullen is niet wat er toe doet. Het gaat om de grootte verzameling In zeker zin was mijn benaming "vierkant" net zo misleinden als de benaming "diagonaal" voor Cantors bewijs. Cantor toonde juist duidelijk aan dat er op een volledige lijst geen diagonaal kan zijn. (ook niet als je verondersteld dat die oneindig zou zijn) Hij bewees dus dat die eigenshcap van verzamelingen van getallen van 0 tot 1, óók geld voor oneindig veel decimalen. Maar dat leek mij nogal vanzelfsprekend.

We kunnen onze tabel dus evengoed als volgt schrijven:

0000000001 ➔ 0,1000000000
0000000002 ➔ 0,2000000000
0000000003 ➔ 0,3000000000
0000000004 ➔ 0,4000000000
0000000005 ➔ 0,5000000000
0000000006 ➔ 0,6000000000
0000000007 ➔ 0,7000000000
0000000008 ➔ 0,8000000000
0000000009 ➔ 0,9000000000

links en rechts van " ➔ 0" een perfect spiegelbeeld nietwaar? Met eindeloos veel voor- en achterloopnullen ziet het er heel aftelbaar uit!


@mullog
Ik bewees niet dat het tot een miljard of riljard of quadriljard geldt. Ik legde uit dat het met elke stap erger werd, Cantor bewees dat dit ook voor een oneindig aantal decimalen geldt.

NB hij bewees niet dat een oneindig aantal decimalen ook 1/3 omvat. De limiet is niet wat er aan het einde beriekt wordt (want er is geen einde) maar waar men oneindig dicht bij kan komen, Een buitengewoon subtiel verschil, dat je voor wat betreft de uitkomst van een berekening mag negeren, maar het ligt aan de basis van mijn bezwaar tegen dit soort redenaties.

[Peter van Velzen]

De reden dus waarom men in het bewijs van Cantor een willekeurig lijst neemt, is omdat zowat elke geconstrueerde lijst met een beetje onderzoek al opvoorhand getallen oplevert die niet in de lijst staan waardoor hij al op voorhand niet voldoet aan de premisse die men wil ontkrachten.

Deze nog gemist. dus ik heb gelijk Cantor bewees wat men al lang wist!
Maar voor de rationele getallen deed men het wél ofschoon de decimale getallen er slechts een deelverzameling van zijn.

[axxyanus]

@axxyanus: Het aantal achterliggende nullen is niet wat er toe doet. Het gaat om de grootte verzameling In zeker zin was mijn benaming "vierkant" net zo misleinden als de benaming "diagonaal" voor Cantors bewijs. Cantor toonde juist duidelijk aan dat er op een volledige lijst geen diagonaal kan zijn.

Nee dat toonde hij niet aan. Ik heb trouwens in mijn vorige bijdrage de diagonaal gedefinieerd.

We kunnen onze tabel dus evengoed als volgt schrijven:

0000000001 ➔ 0,1000000000
0000000002 ➔ 0,2000000000
0000000003 ➔ 0,3000000000
0000000004 ➔ 0,4000000000
0000000005 ➔ 0,5000000000
0000000006 ➔ 0,6000000000
0000000007 ➔ 0,7000000000
0000000008 ➔ 0,8000000000
0000000009 ➔ 0,9000000000

links en rechts van " ➔ 0" een perfect spiegelbeeld nietwaar? Met eindeloos veel voor- en achterloopnullen ziet het er heel aftelbaar uit!

Wat voor belang heeft dat spiegelbeeld? In deze tabel staan links de indexen en rechts elementen van de lijst. De diagonaal wordt gevormd over de elementen in de lijst. De indexen, en dus ook de cijfers van de indexen, spelen daarin geen enkele rol, behalve dan dat ze de volgorde van de getallen in de lijst bepalen.

Aan de hand van jouw lijst bepalen we dus de diagonaal als volgt (cijfers in vetjes):

0,1000000000...
0,2000000000...
0,3000000000...
0,4000000000...
0,5000000000...
0,6000000000...
0,7000000000...
0,8000000000...
0,9000000000...

En in dit geval is de diagonaal gelijk aan het eerste getal.

[edit]Verduidelijking toegevoegd dat de vraag is naar het belang van het spiegelbeeld[/edit]

[axxyanus]

De reden dus waarom men in het bewijs van Cantor een willekeurig lijst neemt, is omdat zowat elke geconstrueerde lijst met een beetje onderzoek al opvoorhand getallen oplevert die niet in de lijst staan waardoor hij al op voorhand niet voldoet aan de premisse die men wil ontkrachten.

Deze nog gemist. dus ik heb gelijk Cantor bewees wat men al lang wist!

Dat volgt daar helemaal niet uit. Wat men "wist" was dat als er een bijectie bestond tussen ℕ en ℝ dat het geen vanzelfsprekende constructie zou zijn. Maar dat er geen bijectie mogelijk was, wist men niet. Er was heel wat protest tegen zijn werk van andere wiskundigen.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

0000000001 ➔ 0,1000000000
0000000002 ➔ 0,2000000000
0000000003 ➔ 0,3000000000
0000000004 ➔ 0,4000000000
0000000005 ➔ 0,5000000000
0000000006 ➔ 0,6000000000
0000000007 ➔ 0,7000000000
0000000008 ➔ 0,8000000000
0000000009 ➔ 0,9000000000

links en rechts van " ➔ 0" een perfect spiegelbeeld nietwaar? Met eindeloos veel voor- en achterloopnullen ziet het er heel aftelbaar uit!

Ja logisch is het (oneindig) aftelbaar, links staat gewoon een lijst van natuurlijke getallen.
Dus wat wil je hiemee zeggen?????

[axxyanus]

Dat irrationele getallen door beperkingen van het decimale systeem daarin niet correct kunnen worden weergegeven, betekent inderdaad niet dat ze niet bestaan. Ik tart je echter te bewijzen dat de beoogde lijst iets anders kan bevatten dan rationele getallen van het type n / (b in de macht m). waarbij b de basis van het betreffende talstelsel is. Ik zou groot respect hebben voor eenieder die me daarvan kan overtuigen.

Wat voor belang heeft dit? Het enige dat je aantoont is dat jouw lijst geen bijectie vormt tussen ℕ en ℝ. Er is niets verwonderlijks aan dat er relaties bestaan tussen ℕ en ℝ, die geen bijectie zijn. De vraag die men stelde was of er relaties tussen ℕ en ℝ waren die wel een bijectie waren. Cantor bewees dat dat niet het geval was.

Nu nog even uitleggen waarom ik lijst bewust opbouwde als spiegelbeeld van het volgnummer. De rationele getallen worden geacht dezelfde kardinaliteit te hebben als de natuurlijke getallen omdat je ze volgens een bekend algoritme kunt opbouwen. Als men Cantors “diagonale” argument presenteert doet men dat doorgaans in een random volgorde omdat er geen kleinste getal bestaat. Dat er geen kleinste getal bestaat is echter – natuurlijk - ook waar voor de rationele getallen. Immers zou men er een opschrijven (in de vorm n/m, waarbij n en m natuurlijke getallen zijn dan is eenvoudig te bewijzen dat er een kleiner getal moet bestaan, door eenvoudig één bij m op te tellen.
Ik toon echter aan dat men de decimale getallen ook via een vast algoritme kan opbouwen en tevens dat de koppeling met de natuurlijke getallen ontzettend eenvoudig is.

En wat is het belang hiervan? Wat jij bedoelt met decimale getallen, lijken die getalllen te zijn wiens decimale expansie vanaf een bepaalde positie enkel nog nullen bevat. Je lijst bevat dus geen vierkantswortels van priemgetallen en geen breuken met een priemfactor verschillend van twee en vijf. Je lijst is dus geen bijectie tussen ℕ en ℚ, laat staan dat het mogelijk een bijectie tussen ℕ en ℝ, zou zijn.

Wat dus op een poging lijkt om Cantor te weerleggen door een bijectie te construeren tussen ℕ en ℝ, faalt omdat er nummers in ℝ zijn, die nooit door je constructie bereikt worden.[/quote]

Overigens had Cantor al eerder een bewijs gepubliceert dat de grotere kardinaliteit van de reële getallen zou aantonen. Dat bewijs is voor mij echter moeilijk te volgen. Ik zie met name niet in waarom het niet ook op zou gaan voor rationele getallen. Maar misschien heb ik dat eenvoudigweg gemist. Ik ben tenslotte geen afgestudeerd wiskundige.

De stelling van Cantor bewijst dat er geen bijectie kan bestaan tussen een verzameling V en zijn machtsverzameling, 𝓟(V). Men kan ook bewijzen dat er een bijectie bestaat tussen 𝓟(ℕ) en ℝ.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Men kan ook bewijzen dat er een bijectie bestaat tussen 𝓟(ℕ) en ℝ.

Zozo, ik ben zeer benieuwd naar dat bewijs waar men al meer dan honderd jaar naar zoekt.

PS. Het kardinaal getal van ℝ is K( ℝ)=c.