Wiskunde beschrijvend of bepalend?

[holog]

Holog,

Redelijk in lijn met wat ik stelde "co-evolutie", indien correct geïnterpreteerd.
Mijn spontaan direct gevoel is dat het best fit in een 2de order cybernetics systeem. ( waar we waarschijnlijk wel zullen botsen).

Is dat net zo iets als transhumanisme?
https://nl.wikipedia.org/wiki/Transhumanisme

In beide gevallen graag toegelicht wat je bedoelt met “indien correct geïnterpreteerd” en wat Amerauder volgens jou bedoelt.

Roeland

Ik weet niet wat er niet duidelijk is aan wat Amerauder bedoeld, kort samengevat "de grenzen van mijn taal zijn de grenzen van mijn wereld" , je kan evengoed zeggen "de grenzen van mijn concepten zijn de grenzen van mijn wereld".

Bij u is dat anders, net dat ik niet begrijp waarom je eerder plots het had over artificieel gecreëerd leven, ben ik niet echt meer waarom je nu plots afkomt met transhumanissme ?
Omwille van het woord co-evolutie, omwille van het woord cybernetics? ... ik ben niet mee.
Ik bedoel cybernetics in de eigenlijke zin van controle (steering) van complex dynamische systemen.

[heeck]

Holog,

Ik laat het erbij, want de betekenissenmist trekt zo niet weg.

Roeland

[holog]

Holog,

Ik laat het erbij, want de betekenissenmist trekt zo niet weg.

Roeland

Sorry ik gebruik cybernetics in de (eigenlijke of) natuurkundige betekenis de studie van controle van complexe dynamische systemen (ter mijne verdediging levin gebruikt het ook in de video op verschillende momenten in deze zin).

ik heb nogal de neiging om te vergeten dat in de volksmond, het begrip echter in de loop van de tijd vervormd, waarbij er gedacht wordt aan cyborgs, bionische implantaten, en dat soort van dingen, cyborgtechnologie onder invloed scif en cyberpunk. (of door het voorvoegsel 'cyber' is het ook vaak ten onrechte geassocieerd met computers, netwerken of cybersecurity, of 'online', internet...)

het is best wel grappig door volksmond heeft 'cybernetics' zelf ondergaan wat het beschrijft: een systeem dat, onder invloed van feedback, zichzelf herconfigureerd.

het heeft eveneens nog een andere evolutie gehad.

eerst controle theorie system engineering (de technische lijn), meer in de zin van regeltechniek: feedback, stabiliteit, optimalisatie. "doelgericht gedrag in een ruisende wereld"

2de orde cybernetics, of 'cybernetics of cybernetics' , waarnemers en systemen beïnvloeden elkaar wederzijds.

de wiskundige, natuurkundige betekenis complexiteit en adaptieve systemen, Prigogine niet-lineaire thermodynamica, emergentie en zelforganisatie, de cybernetische vraag 'hoe stabiliteit bewaren?' verschoof dan naar hoe orde ontstaat uit chaos.

[The Black Mathematician]

Interessant vraagstuk, waar ikzelf geen eenduidig antwoord op heb. Gerelateerd aan de vraag of we wiskunde ontdekken of creëren, wat weer gerelateerd is aan of je platonist of formalist bent.

Aangezien het boek der natuur in wiskunde geschreven lijkt te zijn, is het verleidelijk te zeggen dat natuurkunde in zekere zin de wiskunde volgt: we formuleren eerst de grondslagen van de wiskunde, en gaan vervolgens daarmee natuurkunde beschrijven. Mijn promotor heeft wel eens gezegd dat hij denkt dat het juist andersom zou moeten: de grondslagen van de wiskunde zouden uit die van de natuurkunde moeten volgen. In zekere zin ook wel te begrijpen: de natuurlijke getallen treffen we direct in de natuur aan. Ik denk echter dat hij bedoelde dat de onderliggende logica van de wiskunde intuitionistisch zou moeten zijn, en in een intuitionistisch wereldbeeld vereist bijvoorbeeld de definitie van de reële getallen ook een aanpassing.

Zelf neig ik naar formalisme, maar met de kanttekening dat niet elk spel van formele symbolen interessant is. Wat interessant is, is wat toepasbaar is in de beschrijving van de natuur. En hier is er geen sprake van één enkele logica of formeel systeem of theorie die toepasbaar is. Intuitionistiche logica kan in de ene situatie toepasbaar zijn, terwijl klassieke logica toepasbaar is in een andere situatie, net zoals niet-Euclidische meetkunde van toepassing is in sommige situaties (zoals algemene relativiteit) terwijl Euclidische meetkunde toepasbaar is in een andere situatie (de meetkunde van een stadsoppervlak bijvoorbeeld).

[heeck]

. . . . . .
Wat interessant is, is wat toepasbaar is in de beschrijving van de natuur. En hier is er geen sprake van één enkele logica of formeel systeem of theorie die toepasbaar is. . . . .

Die schoot me als allereerste door het hoofd, maar hield ik in omdat ik wegens onkunde niet overzie of er hier geen sprake kan zijn van een nog te componeren formeel systeem.

Roeland

[The Black Mathematician]

In principe kan je vaak het ene systeem beschrijven in het andere en visa versa. Bijvoorbeeld, Euclidische meetkunde is een speciaal geval van Riemannse meetkunde, waarin we gekromde meetkundige ruimten beschrijven. In het geval van Euclidische meetkunde is de kromming 0. Maar aan de andere kant kunnen we zo'n gekromde meetkunde ruimte inbedden in een Euclidische ruimte, die dan wel een hogere dimensie moet hebben (dit is de zogeheten Inbeddingstelling van Nash, dezelfde Nash van A Beautiful Mind). Bijvoorbeeld, het oppervlak van een bol zoals de Aarde is een voorbeeld van een twee-dimensionale gekromde ruimte, maar die kunnen we prima beschrijven in een drie-dimensionale Euclidische ruimte. Kortom, Euclidische meetkunde kan beschreven worden in termen van Riemannse meetkunde en visa versa.

Dit werkt ook vaak zo met andere formele systemen. Een beetje lastiger voorbeeld: topoi zijn modellen van intuitionistische logica. Ook gewone logica kan met topoi gemoduleerd worden, namelijk via Boolse topoi. Dus gewone logica kan als een speciaal geval van intuitionistische logica beschouwd worden. Aan de andere kant kunnen topoi beschreven worden in termen van verzamelingen, en verzamelingen vormen een Boolse topos. Dus ook intuitionistische logica kan beschreven worden in termen van gewone logica.

In al deze gevallen kan je dus zeggen dat elk van de systemen alles omvattend is, er is dus geen noodzaak om een ander systeem te ontwikkelen dat beide gevallen als speciaal geval bevat, omdat de systemen in zekere zin elkaar omvatten. Er zijn vele verschillende grondslagen van wiskunde, en in principe zijn ze equivalent. Het hangt hier ook weer af in wat voor wiskunde je geïnteresseerd bent voor wat voor grondslag je kiest.

[heeck]

Black Magician,

Dank. En ik verdwijn zo snel mogelijk uit dit topic, want ik lijd aan een persoonlijk zijpaadje:
Als iedere FT-er de eigen discussietechniek zou kunnen vervolmaken dan zou het mogelijk geworden zijn om met dat uittreksel van de werkelijkheid de gehele werkelijkheid uitputtend recht te doen.
Insgelijks Russell die ook zoiets hoopte en volgens sommigen Gödel niet begreep.

In de praktijk leeft iedereen in zijn daagse soms tijdelijk verrijkte bubbel van onbegrip waar ik laatst last van kreeg toen een zeer plezant tafelgesprek in warm drijfzand verzeilde vanwege het gezamenlijk onvermogen om de werking van een fixeerspuitje te begrijpen, laat staan uit te leggen.
Op mijn zesde had mijn vader me al geleerd om het goed te gebruiken, maar dat verklaart de onontbeerlijke onderdruk door stevig blazen niet.

Roeland

[TIBERIUS CLAUDIUS]

In de praktijk leeft iedereen in zijn daagse soms tijdelijk verrijkte bubbel.

In de wiskunde is dat ook zo:
Zaken zijn altijd maar geldig binnen een verzameling.
Ik noem dat de Horizon van het werkgebied.

[heeck]

In de praktijk leeft iedereen in zijn daagse soms tijdelijk verrijkte bubbel.

In de wiskunde is dat ook zo:
Zaken zijn altijd maar geldig binnen een verzameling.
Ik noem dat de Horizon van het werkgebied.

En niet daarbuiten en zeker niet bij stiekem naar zichzelf verwijzend:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Russellparadox

De russellparadox, ook antinomie van Russell genoemd, is een paradox in de naïeve verzamelingenleer over verzamelingen waarvan de elementen zelf ook weer verzamelingen zijn.. . . . ..

Of bij het vaak voorkomend betogen dat je het onbekende niet bij voorbaat zou mogen buitensluiten; omdat zodoende een totaal onbekende verzameling van onbekendheden wordt toegevoegd aan de verzameling van aspecten waarover wordt gedebatteerd.
De TITEL “Wiskunde beschrijvend of bepalend” is hierover niet uitsluitend.


Roeland

[holog]

In al deze gevallen kan je dus zeggen dat elk van de systemen alles omvattend is, er is dus geen noodzaak om een ander systeem te ontwikkelen dat beide gevallen als speciaal geval bevat, omdat de systemen in zekere zin elkaar omvatten. Er zijn vele verschillende grondslagen van wiskunde, en in principe zijn ze equivalent. Het hangt hier ook weer af in wat voor wiskunde je geïnteresseerd bent voor wat voor grondslag je kiest.

Topos theorie defineert een specifieke type categorie met extra regels (of welke categorien "rijk genoeg zijn") die je toelaat om aan 'lokale' wiskunde te doen. Het voegt een extra structuur toe die lijken op de alledaagse wiskunde met verzamelingen, wat je toelaat te redeneren alsof het een (verzamelingsleer) set theoretisch universum is.

Ik vroeg me af in hoever je dieper wenst of kan ingaan op 'en in principe zijn ze equivalent'?

[holog]

waarschijnlijk was ik niet al te duidelijk met bovenstaande vraag.

met van de verschillende wiskundige grondslagen kan je het meeste van de gewone wiskunde modelleren (zoals analyse, algebra, topologie, enz.) , dus voor praktisch gebruik leveren ze dezelfde wiskunde op. het is dan ook eerder een meta-logische of interpretatieve equivalentie: elk systeem kan binnen een ander geïnterpreteerd worden (weliswaar onder bepaalde voorwaarden).

in de meeste toepassingen zijn verschillende grondslagen van wiskunde aldus conservatief equivalent ze genereren dezelfde resultaten over eindige structuren, getallen, analyse, enz, enz ...op fundamenteel niveau verschillen ze in logische structuur, interne semantiek en de manier waarop ‘gelijkheid’, ‘waarheid’ en ‘ruimte’ worden begrepen.

ik vraag me af of hier nog een extra vorm van nuance of extra vorm van iets mindere vorm van nuance dient aan toegevoegd te worden?

[The Black Mathematician]

Ik denk dat je het behoorlijk goed samenvat. En met alles is het van belang wat het beste bruikbaar is voor de toepassing in gedachte.

[holog]

Ik denk dat je het behoorlijk goed samenvat. En met alles is het van belang wat het beste bruikbaar is voor de toepassing in gedachte.

een voorbeeld waarmee ik in mijn hoofd zit is contextualiteit, en dit in de schoventheoretische interpretatie van Samson Ambramsky, tzz lokaal consistent en globaal inconsistent.

theoretisch gezien zou wel onder verzamelingleer kunnen gaan pogen te stellen, alhoewel zeer omslachtig. het probleem is niet de logische geldigheid, maar het feit dat contextualiteit de impliciete semantiek van verzamelingleer tegenspreekt.

verzamelingenleer moedigt de aanname aan dat een wiskundig object (zoals het universum van meetresultaten) bestaat als een enkel, volledig, consistent geheel. alle eigenschappen zijn in principe reduceerbaar tot de elementen van die ene universele verzameling.

contextualiteit contradicteert dit: het zegt immers dat ene consistente globale geheel bestaat niet

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik denk dat je het behoorlijk goed samenvat. En met alles is het van belang wat het beste bruikbaar is voor de toepassing in gedachte.

een voorbeeld waarmee ik in mijn hoofd zit is contextualiteit, en dit in de schoventheoretische interpretatie van Samson Ambramsky, tzz lokaal consistent en globaal inconsistent.

theoretisch gezien zou wel onder verzamelingleer kunnen gaan pogen te stellen, alhoewel zeer omslachtig. het probleem is niet de logische geldigheid, maar het feit dat contextualiteit de impliciete semantiek van verzamelingleer tegenspreekt.

verzamelingenleer moedigt de aanname aan dat een wiskundig object (zoals het universum van meetresultaten) bestaat als een enkel, volledig, consistent geheel. alle eigenschappen zijn in principe reduceerbaar tot de elementen van die ene universele verzameling.

contextualiteit contradicteert dit: het zegt immers dat ene consistente globale geheel bestaat niet

Een universele verzameling riekt naar de Verzameling van Alles.
Die kan echter niet bestaan.

PS.
Je gaat voorbij aan het probleem dat er zaken zijn die zich niet wiskundig laten omschrijven.

[The Black Mathematician]

Ik ken Samson Abramsky en volg zijn werk op afstand. Wat hij doet valt gewoon binnen verzamelingentheorie. Het punt met schoven in algemeen (niet alleen in het werk van Abramsky) is dat ze een alternatief wiskundig universum vormen, en dat universum heeft een eigen interne logica die niet standaard, waardoor er uitspraken zijn in dat universum die strijdig kunnen zijn met verzamelingentheorie. Echter, een schoof wordt met behulp van verzamelingen beschreven, dus je kan die schoven ook extern in verzamelingentheorie beschrijven, en dan is alles constistent met verzamelingentheorie.

Het punt hier is intern vs extern. Intern in het schovenuniversum zijn er uitspraken die strijdig zijn met verzamelingentheorie. Extern zijn al die schoven gewoon verzamelingtheoretische objecten, en correspondeert zo'n uitspraak die intern strijdig is met verzamelingentheorie met een uitspraak die volledig geldig is binnen verzamelingentheorie.

Vergelijk het met meetkunde. In Euclidische meetkunde geldt het parallellenpostulaat: gegeven een lijn en een punt buiten die lijn kan je precies één lijn door het punt trekken dat de eerste lijn niet snijdt. In elliptische meetkunde, zoals op een boloppervlak, snijdt elke lijn die je door dat punt trekt de oorspronkelijke lijn. Echter, we kunnen een boloppervlak in een Euclidische ruimte inbedden. Krijgen we dan een tegenspraak met Euclidische meetkunde? Nee, want die lijnen over het boloppervlak zijn geen lijnen in de Euclidische zin.

Zo is het precies ook met die schoven. Intern, in het schovenuniversum gedragen schoven zich als verzamelingen, voldoen aan bijna dezelfde wetmatigheden. Maar er zijn uitzonderingen: er zijn uitspraken die gelden voor verzamelingen, maar niet voor schoven. Dit is geen tegenspraak, want extern, in verzamelingentheorie wordt zo'n uitspraak over een schoof anders geïnterpreteerd, waardoor alles constistent blijft.