Geplaatst: 07 dec 2005 08:08
rudeonline schreef: Het feit dat klokken stil blijven staan bij c, bewijst dat het echter wel zo moet zijn. Geen tijd, geen beweging.
De verklaring hiervoor is volgens mij als volgt:
uit het lichtpostulaat volgt dat we een bewegende klok langzamer zien lopen dan een stilstaande klok. Een klok is een mechanische constructie die twee opeenvolgende tijdstippen vastlegt, hetzij door de wijzers van de klok, cijfers op een display, of ieder ander natuurkundig verschijnsel dat periodiek in de tijd is. Omdat het lichtpostulaat iets over licht zegt, nemen we als uitgangspunt de zg. lichtklok. Bij deze klok kaatst licht heen en weer tussen twee spiegels. Dat licht wordt uitgezonden met een zeer korte pulsduur, zodat we daarvan het begin nauwkeurig kunnen bepalen en hiermee het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende tikken van de klok kunnen aflezen. We kiezen voor deze tijdsduur tussen twee tikken één nanoseconde waarin het licht heen en weer gaat. In die tijd legt het licht 30 centimeter af, dus staan de spiegels op een afstand van L=15 centimeter. We kiezen deze eenheid van een nanoseconde voor de duur tussen twee tijdstikken om een handzame klok te verkrijgen. De relatie tussen de tijdsduur en de afstand geldt uiteraard alleen als de klok stilstaat ten opzichte van ons, als waarnemer. Hou de klok nu rechtop, dus de spiegels evenwijdig aan de grond, maar laat de gehele klok bewegen met een snelheid v. Denk daarbij aan een klok in een rijdende trein die we van het perron waarnemen. Als we mee zouden reizen met de klok in de trein verandert er natuurlijk niets, maar wij staan op het perron en volgen het licht van onder naar boven en weer terug. Omdat de spiegels en de trein met een snelheid v bewegen, hebben deze tussen de tijd van het vertrek van het licht en de aankomst bij de bovenste spiegel een afstand vT/2 afgelegd, en nog eens dezelfde afstand op de terugweg, zie de figuur. Hierbij is T uiteraard de tijdsduur voor het op en neer gaan van het licht, maar gezien vanuit onze waarnemingspositie. Om deze tijd T te bepalen, rekenen we uit wat de afstand is die het licht heeft afgelegd. Hier gebruiken we de stelling van Pythagoras,1 want deze afstand is twee maal de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek die we in de figuur hebben aangegeven. De verticale rechte zijde heeft een lengte L, en de horizontale rechte zijde een lengte vT/2. Dus de weg die het licht heeft afgelegd is gelijk aan
.
Anderzijds is deze lengte ook gelijk aan de snelheid van het licht vermenigvuldigd met de tijd T die het nodig had.
Nu komt het lichtpostulaat van pas, want die snelheid is dus gelijk aan c (onafhankelijk van de beweging van de klok, die met een constante snelheid beweegt, zodat er - in goede benadering - geen krachten op werken). Dus
Anderzijds geldt voor de waarnemer die meereist met de klok dat het licht vertikaal op en neer gaat, dus een afstand 2L aflegt. De tijd die het daarvoor gebruikt is de nanoseconde (t=10-9 s); zo hebben we nu eenmaal de klok geijkt. Ook voor de meereizende waarnemer is de snelheid van het licht gelijk aan c, zodat ct=2L. De hoogte van de klok L is voor beide waarnemers hetzelfde. Dus we kunnen L=ct/2 invullen in de andere vergelijking
Linker- en rechterkant van de vergelijking kwadrateren geeft
(cT)2=(ct)2+(vT)2
We brengen (vT)2 naar de andere kant van de vergelijking, delen door c2 en vinden
(1-v2/c2)T2=t2
Hieruit lossen we nu dus eenvoudig T op, in termen van t en v
Dit is de beroemde formule van Einstein voor de tijdsdilatatie: we zien een bewegende klok langzamer lopen dan een stilstaande klok. Hoeveel langzamer hangt van de snelheid van de klok af. Als de snelheid gelijk aan nul is, dan is natuurlijk T=t, zoals het hoort. Als v nu groter en groter wordt, dan wordt ook T groter en groter. Totdat v dichter en dichter bij c komt, en T onbeperkt groot wordt. Bij v=c is dan de tijdsduur tussen twee tikken op de klok oneindig groot, de tijd van de bewegende klok komt voor de waarnemer stil te staan (bron Lorentz instituut Universiteit Leiden faculteit natuurkunde)
De verklaring hiervoor is volgens mij als volgt:
uit het lichtpostulaat volgt dat we een bewegende klok langzamer zien lopen dan een stilstaande klok. Een klok is een mechanische constructie die twee opeenvolgende tijdstippen vastlegt, hetzij door de wijzers van de klok, cijfers op een display, of ieder ander natuurkundig verschijnsel dat periodiek in de tijd is. Omdat het lichtpostulaat iets over licht zegt, nemen we als uitgangspunt de zg. lichtklok. Bij deze klok kaatst licht heen en weer tussen twee spiegels. Dat licht wordt uitgezonden met een zeer korte pulsduur, zodat we daarvan het begin nauwkeurig kunnen bepalen en hiermee het tijdsverschil tussen twee opeenvolgende tikken van de klok kunnen aflezen. We kiezen voor deze tijdsduur tussen twee tikken één nanoseconde waarin het licht heen en weer gaat. In die tijd legt het licht 30 centimeter af, dus staan de spiegels op een afstand van L=15 centimeter. We kiezen deze eenheid van een nanoseconde voor de duur tussen twee tijdstikken om een handzame klok te verkrijgen. De relatie tussen de tijdsduur en de afstand geldt uiteraard alleen als de klok stilstaat ten opzichte van ons, als waarnemer. Hou de klok nu rechtop, dus de spiegels evenwijdig aan de grond, maar laat de gehele klok bewegen met een snelheid v. Denk daarbij aan een klok in een rijdende trein die we van het perron waarnemen. Als we mee zouden reizen met de klok in de trein verandert er natuurlijk niets, maar wij staan op het perron en volgen het licht van onder naar boven en weer terug. Omdat de spiegels en de trein met een snelheid v bewegen, hebben deze tussen de tijd van het vertrek van het licht en de aankomst bij de bovenste spiegel een afstand vT/2 afgelegd, en nog eens dezelfde afstand op de terugweg, zie de figuur. Hierbij is T uiteraard de tijdsduur voor het op en neer gaan van het licht, maar gezien vanuit onze waarnemingspositie. Om deze tijd T te bepalen, rekenen we uit wat de afstand is die het licht heeft afgelegd. Hier gebruiken we de stelling van Pythagoras,1 want deze afstand is twee maal de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek die we in de figuur hebben aangegeven. De verticale rechte zijde heeft een lengte L, en de horizontale rechte zijde een lengte vT/2. Dus de weg die het licht heeft afgelegd is gelijk aan
.
Anderzijds is deze lengte ook gelijk aan de snelheid van het licht vermenigvuldigd met de tijd T die het nodig had.
Nu komt het lichtpostulaat van pas, want die snelheid is dus gelijk aan c (onafhankelijk van de beweging van de klok, die met een constante snelheid beweegt, zodat er - in goede benadering - geen krachten op werken). Dus
Anderzijds geldt voor de waarnemer die meereist met de klok dat het licht vertikaal op en neer gaat, dus een afstand 2L aflegt. De tijd die het daarvoor gebruikt is de nanoseconde (t=10-9 s); zo hebben we nu eenmaal de klok geijkt. Ook voor de meereizende waarnemer is de snelheid van het licht gelijk aan c, zodat ct=2L. De hoogte van de klok L is voor beide waarnemers hetzelfde. Dus we kunnen L=ct/2 invullen in de andere vergelijking
Linker- en rechterkant van de vergelijking kwadrateren geeft
(cT)2=(ct)2+(vT)2
We brengen (vT)2 naar de andere kant van de vergelijking, delen door c2 en vinden
(1-v2/c2)T2=t2
Hieruit lossen we nu dus eenvoudig T op, in termen van t en v
Dit is de beroemde formule van Einstein voor de tijdsdilatatie: we zien een bewegende klok langzamer lopen dan een stilstaande klok. Hoeveel langzamer hangt van de snelheid van de klok af. Als de snelheid gelijk aan nul is, dan is natuurlijk T=t, zoals het hoort. Als v nu groter en groter wordt, dan wordt ook T groter en groter. Totdat v dichter en dichter bij c komt, en T onbeperkt groot wordt. Bij v=c is dan de tijdsduur tussen twee tikken op de klok oneindig groot, de tijd van de bewegende klok komt voor de waarnemer stil te staan (bron Lorentz instituut Universiteit Leiden faculteit natuurkunde)
