De ultieme waarde van Pi

[Peter van Velzen]

Je definitie is onbevredigend.
Het betekent dat er verzamelingen zijn die ongelijk aan zichzelf zijn.

Nogmaals:
Het begrip ultieme waarde bestaat niet in de wiskunde.
Het begrip zoeken naar ""de ultieme waarde"" is net zoiets als zoeken naar ""De Steen Der Wijzen"".

Hoe een getal wordt genoteerd hangt van het notatie systeem af waarvoor is gekozen.
Jij blijft maar vasthouden aan een notatie visie die al eeuwen is losgelaten.
Je blijft getallen zien als het resultaat van tellen wat al snel onvoldoende blijkt.

Graag een voorbeeld van een verzameling die ongelijk is aan zichzelf (volgens mijn "ontoereikende" definitie). Ik geloof niet alles wat een ander beweert.

Ik gebruikte de term "ultieme waarde van Pi"alleen om aan te geven dat er antwoorden zijn, die oneindig kunnen worden gepreciseerd. Het was ingegeven door de titel van het onderwerp waar dit van is afgesplitst. Het idee om Pi uit te schrijven op papier met een miljoen decimalen is pas een jaar of wat oud. En het 2 kwadrilioenste cijfer is ook niet eeuwen geleden berekend. Je geeft mij telkens de schuld voor wat anderen hebben gedaan, waarom?

Alleen natuurlijke getallen (nummers) zijn het resultaat van tellen. Ze staan ook in het 90-jaar oude wiskunde boek dat ik heb aan de basis van de rest. Gehele getallen zijn het resulaat van (optellen en) aftrekken, rationele getallen zijn het resultaat van (vermenigvuldigen en) delen, Irrrationele getallen zijn het resulaat van (machtsverheffen en) worteltrekken of nog ingewikkelder zaken. Volgens de definitie van Cantor (Cauchy-rijen) zijn ze het resultaat van een oneindig proces. In zekere zin ben ik het daarmee eens (alleen in de door jouw verfoeide notatie ervan), alleen betwijfel ik of er een eindresultaat kan bestaan. (2 kwadriljoen is nog niet het einde).

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Laat A een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.
Laat B een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.

We koppelen nu elk element x uit A aan 2x uit B.
Elk origineel uit uit A heeft nu een beeld in B, maar in B zijn de oneven cijfers over.

Volgens jouw definitie is dus A ongelijk aan B.
Terwijl ze beide gelijk zijn aan N (de verzameling der natuurlijke getallen)
Dus is N ongelijk aan N of te wel aan zich zelf.
Dat is een contradictie dus je definitie is onjuist.

================

PS.
Zo zijn de natuurlijke getallen tot de mensen doorgedrongen.
Maar nu worden ze geheel anders vastgelegd.

De transcendente getallen worden niet met met jouw bewerkingen gevonden.

[Peter van Velzen]

Laat A een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.
Laat B een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.

We koppelen nu elk element x uit A aan 2x uit B.
Elk origineel uit uit A heeft nu een beeld in B, maar in B zijn de oneven cijfers over.

Aha!
Ik begrijp het. Maar dat is wel wat in het fameuse Hiberts Hotel beweert wordt. (dat er "evenveel" natuurlijke getallen zijn als even getallen). Ik wijs dat af om dezelfde reden als waarom je mijn definitie afkeurt af. (ik blijf immers met de oneven getallen zitten). Dit toont inderdaad aan dat het spreken van "meer" of "minder" bij oneindige verzamelingen een probleem vormt.

Mijn insteek in dit specifieke geval is dat er geen één op één relatie kan bestaan tusssen de natuurlijke getallen en de even (of oneven getallen), en dat dit een schijngelijkheid is. Ik leg het probleem dus anders en beweer dat je met oneindigheden geen dingen mag doen die voor elk eindig aantal onmogelijk zijn. (precies het omgekeerde van wat men mij verwijt.) Bij een maximum van een fantastiljoen(nep hoeveelheid maar je kunt het nepgetal prima vervangen door Grahams nummer) is er geen één op één relatie mogelijk tussen elk natuurlijk getal en elke even getal in die verzameling, bij elke volgende stap (nog eens fantastiljoen maal zoveel) blijft dat waar, dus waarom zou het onwaar worden "als je het niet bestaande einde van de natuurlijke getallen bereikt hebt?"

Wildberger lost het simpeler op. Volgens hem bestaan er geen oneindige verzamelingen en zijn alle getallen groter dan wat je in het hele universum (binair?) zou kunnen uitschrijven (ongeveer 4 maal 10 tot de macht 10 tot de macht 10 tot de macht 10) zinloos.

[collegavanerik]

Je definitie is onbevredigend.
Het betekent dat er verzamelingen zijn die ongelijk aan zichzelf zijn.

Nogmaals:
Het begrip ultieme waarde bestaat niet in de wiskunde.
Het begrip zoeken naar ""de ultieme waarde"" is net zoiets als zoeken naar ""De Steen Der Wijzen"".

Hoe een getal wordt genoteerd hangt van het notatie systeem af waarvoor is gekozen.
Jij blijft maar vasthouden aan een notatie visie die al eeuwen is losgelaten.
Je blijft getallen zien als het resultaat van tellen wat al snel onvoldoende blijkt.

Zonder formele logica kom je er niet, veel plezier met in het wilde weg ouwehoeren.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je definitie is onbevredigend.
Het betekent dat er verzamelingen zijn die ongelijk aan zichzelf zijn.

Nogmaals:
Het begrip ultieme waarde bestaat niet in de wiskunde.
Het begrip zoeken naar ""de ultieme waarde"" is net zoiets als zoeken naar ""De Steen Der Wijzen"".

Hoe een getal wordt genoteerd hangt van het notatie systeem af waarvoor is gekozen.
Jij blijft maar vasthouden aan een notatie visie die al eeuwen is losgelaten.
Je blijft getallen zien als het resultaat van tellen wat al snel onvoldoende blijkt.

Zonder formele logica kom je er niet, veel plezier met in het wilde weg ouwehoeren.

Het is formele logica die ik bedrijf.

De tegenhanger is de intuïtieve logica van onze onvolprezen Nederlander Brouwer.

PS.
Met zomaar wat roepen over zaken die je niet begrijpt kom je er niet.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Laat A een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.
Laat B een verzameling zijn van de natuurlijke getallen.

We koppelen nu elk element x uit A aan 2x uit B.
Elk origineel uit uit A heeft nu een beeld in B, maar in B zijn de oneven cijfers over.

Aha!
Ik begrijp het. Maar dat is wel wat in het fameuse Hiberts Hotel beweert wordt. (dat er "evenveel" natuurlijke getallen zijn als even getallen). Ik wijs dat af om dezelfde reden als waarom je mijn definitie afkeurt af. (ik blijf immers met de oneven getallen zitten). Dit toont inderdaad aan dat het spreken van "meer" of "minder" bij oneindige verzamelingen een probleem vormt.

Mijn insteek in dit specifieke geval is dat er geen één op één relatie kan bestaan tusssen de natuurlijke getallen en de even (of oneven getallen), en dat dit een schijngelijkheid is. Ik leg het probleem dus anders en beweer dat je met oneindigheden geen dingen mag doen die voor elk eindig aantal onmogelijk zijn. (precies het omgekeerde van wat men mij verwijt.) Bij een maximum van een fantastiljoen(nep hoeveelheid maar je kunt het nepgetal prima vervangen door Grahams nummer) is er geen één op één relatie mogelijk tussen elk natuurlijk getal en elke even getal in die verzameling, bij elke volgende stap (nog eens fantastiljoen maal zoveel) blijft dat waar, dus waarom zou het onwaar worden "als je het niet bestaande einde van de natuurlijke getallen bereikt hebt?"

Wildberger lost het simpeler op. Volgens hem bestaan er geen oneindige verzamelingen en zijn alle getallen groter dan wat je in het hele universum (binair?) zou kunnen uitschrijven (ongeveer 4 maal 10 tot de macht 10 tot de macht 10 tot de macht 10) zinloos.

Aan een insteek kopen we niks.

Wat je doet je negeert gewoon mijn verhaal en begint gewoon opnieuw met wat al weerlegd is.
Zo komen we niet verder.

PS.
Windberger bedrijft de intuïtionise wiskunde, die verwerpen bepaalde zaken en daardoor krijg je een ander soort wiskunde.
Met wat jij hier te berde brengt heeft dat weinig uitstaande.

[Peter van Velzen]

dat Wildberger een ander soort wiskunde voorstaat begrijp ik. Ik begrijp echter niet waarom je met oneindige verzamelingen dingen zou moeten kunnen doen die in eindige verzamelingen onmogelijk zijn. Maar zoals ik al zei: we dwalen af, het begon eenvoudig met de verbeterde benaderingen van pi. en nu zitten we over hele andere zaken te praten. Overigens vallen de 2 kwadriljoen cijfers van pi nog (ruim) binnen Wildbergers grenzen.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

dat Wildberger een ander soort wiskunde voorstaat begrijp ik. Ik begrijp echter niet waarom je met oneindige verzamelingen dingen zou moeten kunnen doen die in eindige verzamelingen onmogelijk zijn. Maar zoals ik al zei: we dwalen af, het begon eenvoudig met de verbeterde benaderingen van pi. en nu zitten we over hele andere zaken te praten. Overigens vallen de 2 kwadriljoen cijfers van pi nog (ruim) binnen Wildbergers grenzen.

Herhaling van zetten.

Het is uitgelegd, wat wil je nog meer?
Je negeert die uitleg gewoon, omdat ze niet past in je denken.

[collegavanerik]

Veel plezier, hier heb ik geen zin in.

[axxyanus]

Mijn insteek in dit specifieke geval is dat er geen één op één relatie kan bestaan tusssen de natuurlijke getallen en de even (of oneven getallen), en dat dit een schijngelijkheid is.

Gegeven de relatie: n → n+n. Dat is een één op één relatie tussen de natuurlijke getallen en de even getallen. Als dit geen één op één relatie zou zijn, dan moet je een natuurlijk getal kunnen vinden waarvoor geen dubbel bestaat of je moet een even natuurlijk getal kunnen vinden dat geen half heeft.

Dus toon nu eens aan dat uw insteek ook klopt. Toon aan dat het bovenstaande inderdaad geen één op één relatie is.

[axxyanus]

dat Wildberger een ander soort wiskunde voorstaat begrijp ik. Ik begrijp echter niet waarom je met oneindige verzamelingen dingen zou moeten kunnen doen die in eindige verzamelingen onmogelijk zijn.

Tja waarom moet je met breuken andere dingen kunnen doen dan met gehele getallen?

Met verschillende dingen kan je verschillende dingen doen. Zo zit het nu eenmaal in elkaar.

[Peter van Velzen]

Mijn insteek in dit specifieke geval is dat er geen één op één relatie kan bestaan tusssen de natuurlijke getallen en de even (of oneven getallen), en dat dit een schijngelijkheid is.

Gegeven de relatie: n → n+n. Dat is een één op één relatie tussen de natuurlijke getallen en de even getallen. Als dit geen één op één relatie zou zijn, dan moet je een natuurlijk getal kunnen vinden waarvoor geen dubbel bestaat of je moet een even natuurlijk getal kunnen vinden dat geen half heeft.

Dus toon nu eens aan dat uw insteek ook klopt. Toon aan dat het bovenstaande inderdaad geen één op één relatie is.

Binnen elke eindige verzameling zijn er evenveel natuurlijk getallen waarvoor geen Dubbel bestaat als dat er getallen zijn waarvoor wel een dubbel bestaat. Dat is zo voor elk willekeurig aantal natuurlijke getallen.

Als je oneindige verzamelingen introduceert, ben je echter niet in staat deze in twee gelijke delen te verdelen. Dat lukt wel om en om (en je hebt nog steeds een afwisseling van oneven en even nummers), maar een verdeling in een éérste en een twééde helft is niet mogelijk. Er kan eerste helft zijn van een verzameling die geen laatste element bevat.

Hilbert cs stellen dat daarom de beperking die voor elke eindige verzameling (hoe groot dan ook) opgaat, niet op gaat voor een oneindige verzameling. WIldberger stelt dat oneindige verzameling niet kan bestaan. Terwijl ik voorsta dat een beperking die voor elke eindige verzameling geldt óók geldt voor een oneindige verzameling. Dit zijn in theorie onverenigbare standpunten, maar - omdat we in de natuur geen oneindige verzamelingen tegen komen, heeft dat geen enkele praktische consequentie.

Dit neemt allemaal niet weg dat er geen onherroepelijk einde komt aan het aantal berekende decimalen van Pi. Wel aan het het aantal decimalen dat men in theorie kan opslaan in een quantum computer die alle elementaire deeltjes in het ons bekende heelal als opslagmedium voor binaire waardes gebruikt. Maar dat getal zal nooit bereikt worden. Er zijn al 30 keer zoveel decimalen uitgeprint als een (in dit opzicht buitengewoon begaafd) mens uit zijn hoofd kan leren en er zijn twee miljard keer meer decimalen berekend, dan er ooit zijn uitgeprint. Maar er is altijd nog de mogelijkheid om een volgende decimaal te berekenen.

Wat ik me wel afvraag is of de verschillende algoritmes die er zijn om de decimalen van Pi te berekenen, allemaal dezelfde eerste twee quadriljoen(amerikaans systeem) decimalen op zouden leveren. Het zou een aardige test zijn om dat eens te controleren. Men veronderstelt dit wel, maar het is - denk ik - niet praktisch aangetoond.

[Peter van Velzen]

dat Wildberger een ander soort wiskunde voorstaat begrijp ik. Ik begrijp echter niet waarom je met oneindige verzamelingen dingen zou moeten kunnen doen die in eindige verzamelingen onmogelijk zijn.

Tja waarom moet je met breuken andere dingen kunnen doen dan met gehele getallen?

Met verschillende dingen kan je verschillende dingen doen. Zo zit het nu eenmaal in elkaar.

We zijn het er niet over eens of een oneindige verzameling een ding is. Volgens mij is het slechts een idee.

Ik ben het met je eens dat je met breuken niet dezelfde dingen kunt doen als met natuurlijke getallen. Je kunt met breuken bijvoorbeeld niet tellen. Ook een breuk is in feite slechts een idee. Je komt in de natuur geen 3/4 koeien tegen. De vraag is of natuurlijke getallen eigenlijk wél voorkomen. Waarschijnlijk ontstaan ze pas als je iets telt.

Ik denk dat we het er over eens zijn dat er dingen zijn die je met eindige verzamelingen kunt doen (bijvoorbeeld het aantal elementen tellen) die je met oneindige verzamelingen niet kunt doen. Waar ik een eigenwijs standpunt over inneem is de vraag of je met oneindige verzamelingen dingen kunt doen, die met eindige verzamelingen niet kunnen. Omdat ze niet samenhangen met dingen uit de natuur is het in zekere zin een vrije keuze die je kan maken. Het is maar wat je zelf het meest logisch vindt.

Om de analogie met breuken iets verder uit te diepen. Ken jij dingen die je met breuken kunt doen, die je met natuurlijke getallen niet kunt doen?

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Dit neemt allemaal niet weg dat er geen onherroepelijk einde komt aan het aantal berekende decimalen van Pi. Wel aan het het aantal decimalen dat men in theorie kan opslaan in een quantum computer die alle elementaire deeltjes in het ons bekende heelal als opslagmedium voor binaire waardes gebruikt. Maar dat getal zal nooit bereikt worden. Er zijn al 30 keer zoveel decimalen uitgeprint als een (in dit opzicht buitengewoon begaafd) mens uit zijn hoofd kan leren en er zijn twee miljard keer meer decimalen berekend, dan er ooit zijn uitgeprint. Maar er is altijd nog de mogelijkheid om een volgende decimaal te berekenen.

Wat wil je hier eigenlijk mee zeggen?
Ook van 1/3 kunnen we nooit alle decimalen uitprinten.
Het lijkt er op of je maar blijft roepen dat er geen driehoeken met vierhoeken bestaan.

Wat ik me wel afvraag is of de verschillende algoritmes die er zijn om de decimalen van Pi te berekenen, allemaal dezelfde eerste twee quadriljoen(amerikaans systeem) decimalen op zouden leveren. Het zou een aardige test zijn om dat eens te controleren. Men veronderstelt dit wel, maar het is - denk ik - niet praktisch aangetoond.

Er bestaan zat van deze algoritmes sommigen zitten al in de basis wiskunde.
Tot nu toe is er nooit een verschil gevonden.

PS.
Men doet dat vergelijken niet om het algoritmes te testen maar om de computers te vergelijken.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik ben het met je eens dat je met breuken niet dezelfde dingen kunt doen als met natuurlijke getallen. Je kunt met breuken bijvoorbeeld niet tellen. Ook een breuk is in feite slechts een idee. Je komt in de natuur geen 3/4 koeien tegen. De vraag is of natuurlijke getallen eigenlijk wél voorkomen. Waarschijnlijk ontstaan ze pas als je iets telt.

Kijk hier zit je probleem, je hebt je niet kunnen losmaken van een primitief getal idee.
Je meet daar feitelijk alles aan af en dat moet dus wel fout gaan.

Getallen zijn echter wiskundige abstracties als je daar niet aan wilt moet je geen wiskunde willen bedrijven.

PS.
Men kan uit een emmer melk wel degelijk 3/4 deel tappen.