De ultieme waarde van Pi

[Petra]

De mooiste relatie in de wiskunde vind ik nog altijd de euler identiteit:

Ik ook, had 'm al genoemd.

Kweenie beter dan = 0
is -1 een grapje ?

[axxyanus]

dat Wildberger een ander soort wiskunde voorstaat begrijp ik. Ik begrijp echter niet waarom je met oneindige verzamelingen dingen zou moeten kunnen doen die in eindige verzamelingen onmogelijk zijn.

Tja waarom moet je met breuken andere dingen kunnen doen dan met gehele getallen?

Met verschillende dingen kan je verschillende dingen doen. Zo zit het nu eenmaal in elkaar.

We zijn het er niet over eens of een oneindige verzameling een ding is. Volgens mij is het slechts een idee.

Alle dingen in de wiskunde zijn slechts ideeën. Ook de eindige verzamelingen in de wiskunde, ook de getallen. Niemand speelt met een reëel ding dat een 1 is als men wiskunde bedrijft.

Wiskunde beoefenen gaat over het manipuleren van concepten binnen bepaalde afleidingsregels. Als je denkt dat er problemen zijn met iemands wiskundig resultaat dan wijs je naar waar hij die afleidingsregels niet opvolgde.

Wat jij hier doet, is bepaalde resultaten in vraag stellen maar i.p.v. naar de wiskundige fouten te wijzen, richt je je ongenoegen op het formeel kaderwerk omdat dat niet overeenkomt met je intuïtie. Het probleem natuurlijk is dat intuïtie redelijk persoonlijk is en wiskunde zit vol zaken die wel ergens tegen iemands intuïtie ingaan. Als we zouden toelaten dat een willekeurige iemands intuïtie bepaalde resultaten ontoelaatbaar zou maken dan was het onmogelijke om wiskunde te beoefenen.

En zo'n resultaat dat tegen je intuïtie ingaat een ongerijmdheid noemen, zal gegarandeerd irritatie oproepen bij wiskundigen omdat een ongerijmdheid binnen de wiskunde wijst op een contradictie binnen een bepaalde wiskundige context. Niet op een persoonlijk gevoel van ongemak omdat het niet rijmt met je intuïtie.

Jouw benadering is niet de standaard wiskundige benadering, mij best, er kan zeker eens een onderwerp geopend worden over alternatieve wiskundige benaderingen. Maar hier binnen dit forum hanteren we standaard wiskunde. Wiskundige beweringen moeten dus binnen dat kader bekeken worden. Een wiskundige bewering doen en dan die proberen te ondersteunen door buiten het standaardkader te stappen is als beweren dat iemand een verkeersovertreding heeft begaan en dan het verkeersreglement van een ander land tevoorschijn halen.

[Peter van Velzen]

Wat ik doe is de logica achter sommige facetten van de wiskunde betwijfelen. Daarbij opper ik soms dwaze ideeën. Ik ben inmiddels tot de conclusie gekomen dat het probleem met oneindige verzamelingen inderdaad een logisch probleem is. Dat wil zeggen dat het samen hangt met logos oftewel woorden,

Het is inderdaad niet correct om datgene dat voor eindige verzamelingen waar is ook waar te achten voor oneindige verzamelingen. In het voorbeeld van mijn definitie voor de vraag wanneer een verzameling groter is, stelde ik dat elk element uit een deelverzameling (x1) te koppelen , moest zijn aan een uniek elememt uit de verzameling y. Wat impliciet wordt verondersteld is daarbij dat "elk" niet alleen in houdt "ieder specifiek element", maar dat zulks tevens betekent "alle elementen". Dat laatste is echter niet juist wanneer een verzameling oneindig is. Je kunt elke willekeurig element uit de verzameling de natuurlijke getallen inderdaad koppelen aan een tweemaal groter element, maar je kunt dat niet doen met "alle" elementen. Dat is een onuitvoerbare taak.

Net zoals het een onuitvoerbare taak is om "alle" decimalen van Pi te berekenen.

[axxyanus]

Het is inderdaad niet correct om datgene dat voor eindige verzamelingen waar is ook waar te achten voor oneindige verzamelingen. In het voorbeeld van mijn definitie voor de vraag wanneer een verzameling groter is, stelde ik dat elk element uit een deelverzameling (x1) te koppelen , moest zijn aan een uniek elememt uit de verzameling y. Wat impliciet wordt verondersteld is daarbij dat "elk" niet alleen in houdt "ieder specifiek element", maar dat zulks tevens betekent "alle elementen". Dat laatste is echter niet juist wanneer een verzameling oneindig is. Je kunt elke willekeurig element uit de verzameling de natuurlijke getallen inderdaad koppelen aan een tweemaal groter element, maar je kunt dat niet doen met "alle" elementen. Dat is een onuitvoerbare taak.

In wiskunde zijn er geen taken. Als we spreken over de bijectie tussen de natuurlijke getallen en de even getallen, waarbij een getal is gekoppeld aan zijn dubbel, dan hebben we het over een bestaande relatie, waarbij die koppelingen gewoon al bestaan.

Dus ja alle getallen zijn gekoppeld aan hun dubbel, want er bestaat geen getal dat niet gekoppeld is aan zijn dubbel en dat is wat "alle" betekent in wiskunde.

[Peter van Velzen]

Inmiddels heb ik een betere verklaring bedacht voor mijn falende definitie van "groter". Hij faalt eenvoudig doordat Tiberius Claudius hem gebruikte in een zelfverwijzing. Zelfverwijzingen zijn vaak dodelijk in de logica. Mijn definitie klopt wel, zolang er maar geen sprake is van een zelfverwijzing. Tenminste, dat hoop ik. Wellicht dat Tiberius Claudius of jij, hem dan evengoed kapot kunnen schieten, maar ik heb enige hoop.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Inmiddels heb ik een betere verklaring bedacht voor mijn falende definitie van "groter". Hij faalt eenvoudig doordat Tiberius Claudius hem gebruikte in een zelfverwijzing. Zelfverwijzingen zijn vaak dodelijk in de logica. Mijn definitie klopt wel, zolang er maar geen sprake is van een zelfverwijzing. Tenminste, dat hoop ik. Wellicht dat Tiberius Claudius of jij, hem dan evengoed kapot kunnen schieten, maar ik heb enige hoop.

Het lijkt er een beetje op dat wij jouw redenering kloppend moeten maken.

Ook is het begrip voor eindige verzamelingen reflexief,
dat zou dan moeten worden weggelaten voor oneindige verzamelingen
Kortom je mag iets niet met zichzelf vergelijken,
wat heel ongebruikelijk is daar het dit soort definities zinloos maakt.

PS.
Waar haal je de idee vandaan dat reflecties dodelijk zijn??

Zelf verwijzing in een discussie is dat misschien, maar dat is een heel ander begrip.
Ze bestaat niet eens in de wiskunde.

[axxyanus]

Inmiddels heb ik een betere verklaring bedacht voor mijn falende definitie van "groter". Hij faalt eenvoudig doordat Tiberius Claudius hem gebruikte in een zelfverwijzing. Zelfverwijzingen zijn vaak dodelijk in de logica. Mijn definitie klopt wel, zolang er maar geen sprake is van een zelfverwijzing. Tenminste, dat hoop ik. Wellicht dat Tiberius Claudius of jij, hem dan evengoed kapot kunnen schieten, maar ik heb enige hoop.

Maar er is geen sprake van zelfverwijzing. Zaken met zichzelf vergelijken is geen zelfverwijzing. Anders zou zeggen dat 0 = 0 een zelfverwijzing zijn.

Maar als je een voorbeeld wil met twee verschillende verzamelingen dan kunnen we dat als volgt doen. We nemen de verzameling ℕ, de natuurlijke getallen en we nemen de verzameling N de Numerieke strings volgens onze normale conventie. Dus 5 is het getal vijf en een element van ℕ, "5" is de string bestaande uit het symbool voor het cijfer 5 en is een element van N.

Hebben nu twee verschillende verzamelingen en we kunnen volgens jouw criteria nu zowel bewijzen dat ℕ groter is dan N als we kunnen bewijzen dat N groter is dan ℕ. Gewoon door de volgende relaties. De relatie van ℕ naar N die een getal afbeeld naar de stringvoorstelling van het dubbel en de relatie van N naar ℕ die een string afbeeld op het dubbel van het getal dat de string voorstelt.

[Peter van Velzen]

Het klassieke probleem is "de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" (zie wikepedia: Russelparadox. Het probleem bij mijn definitie van twee verzamelingen waarvan de ene meer elementen bevat dan de andere, faalt op het gebruiken van een deelverzamling van x en die dan met de gehele verzameling x vergelijken. Je vergelijk dus een deel van x met x. en dat is wel degelijk een zelfverwijzing. Ik schat in dat je waarschijnlijk geen mankement aan mijn definitie kunt aantonen. zonder een verzameling met een deel van zichzelf te vergelijken. Maar misschien ben je genialer dan ik voor mogelijk houdt. (of ben ik nog wat dommer dan ik dacht).

[Peter van Velzen]

Het klassieke probleem is "de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" (zie wikepedia: Russelparadox. Het probleem bij mijn definitie van twee verzamelingen waarvan de ene meer elementen bevat dan de andere, faalt op het gebruiken van een deelverzamling van x en die dan met de gehele verzameling x vergelijken. Je vergelijk dus een deel van x met x. en dat is wel degelijk een zelfverwijzing. Ik schat in dat je waarschijnlijk geen mankement aan mijn definitie kunt aantonen. zonder een verzameling met een deel van zichzelf te vergelijken. Maar misschien ben je genialer dan ik voor mogelijk houdt. (of ben ik nog wat dommer dan ik dacht).

Wat Axxyanus voorstelt is gewoon een zelfverwijzing in vermomming. Hij vergelijkt nog altijd een deel van de natuurlijke getallen met de natuurlijke getallen. Alleen doet hij dit via een copy van die verzameling.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Het klassieke probleem is "de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" (zie wikepedia: Russelparadox. Het probleem bij mijn definitie van twee verzamelingen waarvan de ene meer elementen bevat dan de andere, faalt op het gebruiken van een deelverzamling van x en die dan met de gehele verzameling x vergelijken. Je vergelijk dus een deel van x met x. en dat is wel degelijk een zelfverwijzing. Ik schat in dat je waarschijnlijk geen mankement aan mijn definitie kunt aantonen. zonder een verzameling met een deel van zichzelf te vergelijken. Maar misschien ben je genialer dan ik voor mogelijk houdt. (of ben ik nog wat dommer dan ik dacht).

Die paradox is al lang geleden verdwenen door een betere axioma basis van de verzamelingen leer.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Het klassieke probleem is "de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" (zie wikepedia: Russelparadox. Het probleem bij mijn definitie van twee verzamelingen waarvan de ene meer elementen bevat dan de andere, faalt op het gebruiken van een deelverzamling van x en die dan met de gehele verzameling x vergelijken. Je vergelijk dus een deel van x met x. en dat is wel degelijk een zelfverwijzing. Ik schat in dat je waarschijnlijk geen mankement aan mijn definitie kunt aantonen. zonder een verzameling met een deel van zichzelf te vergelijken. Maar misschien ben je genialer dan ik voor mogelijk houdt. (of ben ik nog wat dommer dan ik dacht).

Wat Axxyanus voorstelt is gewoon een zelfverwijzing in vermomming. Hij vergelijkt nog altijd een deel van de natuurlijke getallen met de natuurlijke getallen. Alleen doet hij dit via een copy van die verzameling.

Nogmaals het begrip zelfverwijzing bestaat gewoon niet in de wiskunde.

Het is een begrip uit de retorica.
Je probeert de regels voor dammen toe te passen op schaken.

[Peter van Velzen]

Die paradox is al lang geleden verdwenen door een betere axioma basis van de verzamelingen leer.

Ik ben blij dat je niet zo snel een voorbeeld hebt kunnen vinden waar je zonder een verzameling naar een deel van zichzelf te laten verwijzen kunt aantonen dat mijn definitie van wanneer een verzameling groter is dan een andere faalt.
Verder heb ik niets meer te zeggen over dit onderwerp.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Die paradox is al lang geleden verdwenen door een betere axioma basis van de verzamelingen leer.

Ik ben blij dat je niet zo snel een voorbeeld hebt kunnen vinden waar je zonder een verzameling naar een deel van zichzelf te laten verwijzen kunt aantonen dat mijn definitie van wanneer een verzameling groter is dan een andere faalt.
Verder heb ik niets meer te zeggen over dit onderwerp.

Dat is dus wel gebeurd.
Wat jij doet is al die verzamelingen weer inbedden in het geheel van de natuurlijke getallen.

Ook ben je nog al hardnekkig om niet bestaande begrippen te hanteren.
Niet bestaande begrippen introduceren is retorisch wel handig maar niet erg wetenschappelijk.

Het is net zo'n kreet als: ""God is niet kenbaar"" en daar een godsbewijs uit laten voortvloeien.

[axxyanus]

Het klassieke probleem is "de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten" (zie wikepedia: Russelparadox. Het probleem bij mijn definitie van twee verzamelingen waarvan de ene meer elementen bevat dan de andere, faalt op het gebruiken van een deelverzamling van x en die dan met de gehele verzameling x vergelijken. Je vergelijk dus een deel van x met x. en dat is wel degelijk een zelfverwijzing. Ik schat in dat je waarschijnlijk geen mankement aan mijn definitie kunt aantonen. zonder een verzameling met een deel van zichzelf te vergelijken. Maar misschien ben je genialer dan ik voor mogelijk houdt. (of ben ik nog wat dommer dan ik dacht).

Wat Axxyanus voorstelt is gewoon een zelfverwijzing in vermomming. Hij vergelijkt nog altijd een deel van de natuurlijke getallen met de natuurlijke getallen. Alleen doet hij dit via een copy van die verzameling.

Dit is helemaal geen zelfverwijzing. Zelfverwijzing is als in de definitie voor iets, dat iets ook vermeld zou worden. Een wederzijdse verwijzing zou zijn als het ene in termen van het andere gedefinieerd wordt en het andere in termen van het ene.

Geen van beide is hier van toepassing.

Jij maakt het gewoon onmogelijk aan te tonen dat er een probleem is met je groter dan definitie. Want welke verzameling X ik ook gebruik om dan via twee relaties aan te tonen dat zowel X groter is dan ℕ als ℕ groter dan X, je zal dan kunnen zeggen dat ik nog steeds ℕ met ℕ vergelijk maar dan via een omweg.

Meer ik kan om het even welke twee oneindige verzamelingen kiezen om dat soort relaties te tonen en je kan zeggen dat ik de verzameling gewoon met zichzelf vergelijk maar via een omweg.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik heb een andere bedacht: Namelijk tussen Z en Z².

Maar de discusie lijkt gesloten dus neem ik de moeite maar niet.

PS.
Hoe maken jullie die N met dubbele streep?