De ultieme waarde van Pi

[Peter van Velzen]

Natuurlijk zegt dat wel iets. Het zegt dat er een vaste verhouding is tussen de straal en de omtrek.

Is die verhouding kleiner of groter dan 3 staat tot 1, en waarom is dat zo? Probeer die vraag eens te beantwoorden zonder een rationele benadering van Pi.

[lanier]

Taarten verdelen doe je niet door te rekenen, dat is waar. Maar de omtrek en het oppervlak van een cirkel bepaal je niet door een taart aan te snijden net zo min als het oppervlak en de inhoud van een bol. Ik ben erg benieuwd wie dat kan zonder gebruik te maken van rationele getallen. Zeggen dat de omtrek 2 * pi * de straal is, zegt niets als je niet weet wat pi ongeveer is.

NB je moet natuurlijk ook nog de straal ongeveer weten.

Pi is een verhouding en geen exact getal. 1/3 is ook een verhouding en kan ook niet exact worden uitgerekend.
Je kunt ook bijvoorbeeld exact 100 km/u rijden. Wat is dan de exacte afstand afgelegd na 20 minuten? Die waarde kan decimaal niet exact worden weergegeven, want je hebt 33.333333…… km afgelegd.
We weten de waarde van pi tot x aantal cijfers achter de komma. Als we de straal weten dan kunnen we bij benadering pi uitrekenen. Dit betekent dat we de omtrek van een cirkel altijd bij benadering weten, uitgedrukt in decimalen. Omdat het om een verhouding gaat kan het best zijn dat de exacte waarde niet uit te drukken is in decimalen.

[axxyanus]

Natuurlijk zegt dat wel iets. Het zegt dat er een vaste verhouding is tussen de straal en de omtrek.

Is die verhouding kleiner of groter dan 3 staat tot 1, en waarom is dat zo? Probeer die vraag eens te beantwoorden zonder een rationele benadering van Pi.

Dat is natuurlijk een strikvraag omdat eens je hebt aangetoond dat π groter is dan 3, je een rationele benadering van π gemaakt hebt. Jij vraagt dus een rationale benadering van π aan te tonen, zonder rationele benadering van π.

Maar de standaard manier om aan te tonen dat π groter is dan 3, is om aan te tonen dat de omtrek van een cirkel groter is dan de omtrek van het ingeschreven hexagoon en is een gevolg van het feit dat de sinus van een hoek altijd kleiner is dan een hoek (in radialen uitgedrukt). In heel dat bewijst wordt geen enkele keer een benadering van π gebruikt.

[Peter van Velzen]

Pi is een verhouding en geen exact getal. 1/3 is ook een verhouding en kan ook niet exact worden uitgerekend.
Je kunt ook bijvoorbeeld exact 100 km/u rijden. Wat is dan de exacte afstand afgelegd na 20 minuten? Die waarde kan decimaal niet exact worden weergegeven, want je hebt 33.333333…… km afgelegd.

Klopt niet, je kunt de waarde exact uitdrukken in rationele getallen, dus 100/3 wat overeen komt met 33 en 1/3 kilometer. Meetkundig kun je ook elke rechte lijn in drie gelijke delen delen. Decimalen zijn niet exacter dan derden.
Wat je over pi zegt klopt wel, maar dat is dan ook precies wat ik hier beweerd heb.

Overigens berekent men doorgaans geen afstand door snelheid met tijd te vermenigvuldigen, maar berekent men doorgaans snelheid door afstand door tijd te delen. Afstand is namelijk simpeler meetbaar dan snelheid.

[axxyanus]

Klopt niet, je kunt de waarde exact uitdrukken in rationele getallen, dus 100/3 wat overeen komt met 33 en 1/3 kilometer.

Waarom zouden wij moeten aanvaarden dat dat een exacte uitdrukking is? Je hebt gewoon een notatie gebruikt zoals √3 een notatie is. Waarom zou een notatie met een breukstreep als exact aanvaard moeten worden maar een notatie met een wortel-teken niet?

Waar het op neerkomt is dat jij alles afweegt aan je eigen standpunt, dat breuken exact zijn maar notaties die op irrationele getallen uitkomen niet. Tja als je eigen standpunt het ijkpunt is waarmee je de rest afweegt, is het niet verwonderlijk dat je eigenstandpunt het best overeenkomt met het ijkpunt.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Dat hangt van je manier van berekenen af. Stel je hebt een taart van 1kg en je krijgt de opdracht om deze in precies gelijke stukken te delen. Dan zou je puur op gewicht kunnen rekenen in decimalen maar je krijgt nooit drie gelijke stukken. Ieder stuk zou 333.3333.... wegen. Echter als je uitgaat van een cirkel en je maakt hoeken van 120 graden dan krijgt ieder exact 1/3 deel. Je moet dus de juiste methode van berekenen toepassen om tot een kloppend antwoord te komen. Rekenen in decimalen is niet per definitie het correcte antwoord. Daar was Pythagoras al achter gekomen.

In een drietallig stelsel is een derde gewoon 0.1
In get twaalf talligstesel is het gewoon 0.4

Het sis dus een stelsel probleem geen decimaal probleem.
Je verwart notaties met de aard van getallen.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Taarten verdelen doe je niet door te rekenen, dat is waar. Maar de omtrek en het oppervlak van een cirkel bepaal je niet door een taart aan te snijden net zo min als het oppervlak en de inhoud van een bol. Ik ben erg benieuwd wie dat kan zonder gebruik te maken van rationele getallen. Zeggen dat de omtrek 2 * pi * de straal is, zegt niets als je niet weet wat pi ongeveer is.

NB je moet natuurlijk ook nog de straal ongeveer weten.

In de wiskunde wordt π ook zo niet gedefinieerd.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Pi is een verhouding en geen exact getal.

Gewoon pure onzin.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Overigens berekent men doorgaans geen afstand door snelheid met tijd te vermenigvuldigen, maar berekent men doorgaans snelheid door afstand door tijd te delen. Afstand is namelijk simpeler meetbaar dan snelheid.

Moet je eens proberen in een rijdende auto.

Je verwart hoe snelheid is gedefinieerd met hoe wat te meten.

[Peter van Velzen]

Maar de standaard manier om aan te tonen dat π groter is dan 3, is om aan te tonen dat de omtrek van een cirkel groter is dan de omtrek van het ingeschreven hexagoon en is een gevolg van het feit dat de sinus van een hoek altijd kleiner is dan een hoek (in radialen uitgedrukt). In heel dat bewijst wordt geen enkele keer een benadering van π gebruikt.

Klopt, dat was ik even vergeten. Hoe men aan die benaderingen komt. Daartoe gebruikt men van oudsher ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken. De omtrekken van alle mogelijke dergelijke veelhoeken zouden een Cauchy rij vormen waarmee men volgens de theorie van Cantor het reële getal π zou hebben gedefiniëerd. Ik zeg "zouden" en "zou" want uiteraard zijn ze niet allemaal bekend. Ik weet zo uit mijn hoofd alleen dan ze ergens in de buurt van 3,1415927 uitkomen. Ietsjes kleiner geloof ik. sommige mensen weten het meer dan 8.000 keer preciezer, maar niemand weet het helemaal exact.

Uiteraard is de echte definitie van π natuurlijk "de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een (perfecte) cirkel". Maar we hebben het hier over de waarde van π (voor wat het waard is), en dan wil je een getal dat je kunt opschrijven en teruglezen of in een computer stoppen in een of ander numeriek formaat.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

In zowat elke taal zijn er versjes waarmee je nogal wat decimalen van π kunt terug vinden.

Leuk voor hobbyisten, met wiskunde heeft het niet veel van doen.

[Peter van Velzen]

Overigens berekent men doorgaans geen afstand door snelheid met tijd te vermenigvuldigen, maar berekent men doorgaans snelheid door afstand door tijd te delen. Afstand is namelijk simpeler meetbaar dan snelheid.

Moet je eens proberen in een rijdende auto.

De momentane snelheid lukt dan niet zo goed. Maar ik weet geen andere manier voor de gemiddelde snelheid.

[Peter van Velzen]

In zowat elke taal zijn er versjes waarmee je nogal wat decimalen van π kunt terug vinden.

Leuk voor hobbyisten, met wiskunde heeft het niet veel van doen.

Ben ik met je eens, Maar ook is in de fysische praktijk 8 cijfers meestal wel genoeg. (nauwkeurigheid van 1 op 31 miljoen)

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ben ik met je eens, Maar ook is in de fysische praktijk 8 cijfers meestal wel genoeg. (nauwkeurigheid van 1 op 31 miljoen)

Vaak is het meer dan genoeg maar zeker niet altijd.

Problemen ontstaan vooral bij aftrekkingen waarvan het antwoord dicht bij nul komt te liggen en waar vervolgens mee wordt doorgerekend. Dus als er bv voorkomt: (π-3.1415)

PS.
Dit is geen speciaal π probleem, het kan zich o.a.. ook voordoen bij de wortels van een vierkantsvergelijking.

[Peter van Velzen]

Klopt niet, je kunt de waarde exact uitdrukken in rationele getallen, dus 100/3 wat overeen komt met 33 en 1/3 kilometer.

Waarom zouden wij moeten aanvaarden dat dat een exacte uitdrukking is? Je hebt gewoon een notatie gebruikt zoals √3 een notatie is. Waarom zou een notatie met een breukstreep als exact aanvaard moeten worden maar een notatie met een wortel-teken niet?

Waar het op neerkomt is dat jij alles afweegt aan je eigen standpunt, dat breuken exact zijn maar notaties die op irrationele getallen uitkomen niet. Tja als je eigen standpunt het ijkpunt is waarmee je de rest afweegt, is het niet verwonderlijk dat je eigenstandpunt het best overeenkomt met het ijkpunt.

Heb ik ergens beweert dat een notatie met een wortelteken niet exact is? Het is alleen voor mensen nauwelijks in te schatten. Je moet toevallig ongeveer weten wat die wortel is, en anders moet je het uitrekenen. met 1/3 hebben we minder problemen. Dat kunnen we prima inschatten. Voor π is dat ook niet zo heel moeilijk, maar 3,789π ? Ik zou het niet weten. Ik zou het excel moeten vragen, maar die gebruikt in feite slechts een benadering van π. (Excel zegt 11,903495)