De ultieme waarde van Pi

[Boerenverstand]

De mooiste relatie in de wiskunde vind ik nog altijd de euler identiteit:

Prachtige uitleg hiervan in volgende filmpjes op YouTube:

Wat is e?
https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es" onclick="window.open(this.href);return false;
(3Blue1Brown)

Hoe e tot de pi i meer inzichtelijk kan worden gemaakt met een aantal standpunten uit de groepstheorie en waarom precies e ^ (pi i) = -1.
https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ" onclick="window.open(this.href);return false;
(3Blue1Brown)

en ook hier bij Mathologer (Burkard Polster):

e to the pi i for dummies
https://www.youtube.com/watch?v=-dhHrg-KbJ0" onclick="window.open(this.href);return false;

[Peter van Velzen]

Axxyanus, ik ben niet van plan een oneindige reeks welles-nietes berichten met jou op te bouwen.

Zolang je je niet hebt verdiept in de theorie der reële getallen, en niet begrepen hebt dat volgens deze theorie elk reëel getal gedefiniëerd kan worden door een (of meer) oneindige reeks(en) van rationele getallen, heeft het geen zin hierover met jou te discussiëren.

Maar ik heb hier - op bed liggend zonder dat ik de slaap kan vatten - reeds verder over nagedacht: Dus nadat je je op de hoogte hebt gesteld, kun je mijn volgende redenatie misschien volgen.

Omdat de som van een irrationeel getal (bijvoorbeeld Pi) en een rationeel getal altijd een (verschillend) irrationeel getal oplevert, zijn er minstens evenveel zoveel irrationele getallen als rationele getallen. Bovendien levert het vermenigvuldigen van Pi met een geheel getal, óók een nieuw irrationeel getal op, dat echter per definitie ongelijk is aan een van de irrationele getallen die zijn verkregen door bij pi een geheel getal, op te tellen. Dus moeten er méér irrationele getallen zijn dan rationele getallen.

Als dat zo is, dan moeten er minstens twee (groot understatement) irrationele getallen zijn, waartussen zich geen rationele getallen bevinden. Echter in dat geval is de definitie van het ene irrationele getal, volgens de theorie ook geldig voor het andere irrationele getal, en moeten deze twee irrationele getallen noodzakelijkerwijs dezelfde zijn.
Dit is een ongerijmdheid. Er is dus iets mis met deze theorie. (welke van de equivalente theoriën dan ook).

Het fundamentele probleem - denk ik - ligt niet zozeer bij de irrationele getallen, maar doet zich al voor bij de rationele getallen. Tussen elke twee rationele getallen liggen namelijk oneindig veel andere rationele getallen. Hoe dicht ze ook bij elkaar liggen. Dit is - mins inziens - de oorzaak van bovengenoemd probleem. Immers een rationeel getal kan worden geschreven als n/m waarbij zowel n als m gehele getallen zijn. Ze zijn uniek indien n en m relatief priem zijn, dat wil zeggen geen andere gemeenschappelijke deler kennen dan 1.
(2/4 is derhalve niet uniek net zo min als 3/6, 1/2 daarentegen is wel uniek).

Tussen van elkaar verschillende rationele getallen (n1/m1 en n2/m2) kun je - ook al bevinden ze zich nog zo dicht bij elkaar - altijd een ander rationeel getal denken, te weten n3/m3 = (n1*m2+n2*m1)/(2*m1*m2). Vervolgens kun je hetzelfde doen tussen n1/m1 en n3/m3 (n4/m4) en tussen n3/m3 en n2/m2 (n5/m5). En zo voort. Dit leidt in theorie tot oneindig veel rationele getallen (op welke schaal dan ook).

Omdat halveren van een interval in zekere zin het spiegelbeeld is van het verdubbelen van dat interval. Doet hetzelfde probleem zich al voor bij de gehele getallen. Het interval -1 tot 1, kun je verdubbelen (-2 tot 2), en ook dit kun je oneindig herhalen. Het is deze onbegrensdheid die de ultieme oorzaak is van de ongerijmdheid. Bij elke willekeurige vaststelling van een kleinste en een grootste rationeel interval doet het zich niet voor; er is dan immers ruimte voor méér irrationele getallen buiten het grootste rationele interval.

Het ware probleem zijn dus niet de irrationele getallen en ook niet de rationele getallen, maar het rekenen met onbegrensde dimensies op de getallenlijn, zowel in de richting "groter interval" als in de richting "kleiner interval". Dat is waarom Wildberger pleit voor eindige reeksen en eindig grote en eindig kleine getallen. Ze mogen best gigantisch groot of gigantisch klein zijn, maar we kunnen er alleen zinvolle uitspraken over doen, zolang ze in beide opzichten eindig zijn.

Ik heb dit probleem beschreven op het wetenschapsforum, en daar heeft niemand kunnen aantonen dat er géén ongerijmdheid in de definitie der reële getallen is. Ze komen niet verder dan wat ad-hominems, en een beroep op authoriteit. Net zoals jij zijn ze echter ook niet in staat om ongelijk te bekennen. Mogelijkerwijs is er iemand die wel - met geldige argumenten - kan aantonen (niet alleen maar beweren) dat ik ongelijk heb, maar ik heb hem of haar nog niet gevonden. Wildberger blijkbaar ook niet (tenzij hij ook al geen ongelijk kan bekennen, dat schijnt onder wiskundigen een groot probleem te zijn).

Ik heb een opvallende gelijkenis aangetroffen tussen de manier waarop ik op het wetenschapsforum voor charletan werd uitgemaakt en de manier waarop dat Cantor indertijd overkomen is. toen hij zijn theorie der reële getallen introduceerde. Er is dus niet zoveel veranderd in de wiskundige wereld. Men verdedigt de indertijd verguisde theorie nu met dezelfde onvriendelijkheid als waarmee ze indertijd werd aangevallen. Het standpunt is gewijzigd, maar de methodes om afwijkende meningen te bekritiseren zijn nog altijd dezelfde.

Ik sta altijd open voor argumenten. maar niet voor welles en nietes.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Geen enkel getal bestaat.

Het zijn slecht abstracte wiskundige entiteiten.

[axxyanus]

Axxyanus, ik ben niet van plan een oneindige reeks welles-nietes berichten met jou op te bouwen. Zolang je je niet hebt verdiept in de theorie der reële getallen, en niet begrepen hebt dat volgens deze theorie elk reëel getal gedefiniëerd kan worden door een (of meer) oneindige reeks(en) van rationele getallen, heeft het geen zin hierover met jou te discussiëren.

Waar haal jij dat ik mij daar niet in verdiept hebt? Ik weet hoe reële getallen geconstrueerd worden, ik ben bekend met dedekind sneden en cauchy reeksen.

Maar ik heb hier - op bed liggend zonder dat ik de slaap kan vatten - reeds verder over nagedacht: Dus nadat je je op de hoogte hebt gesteld, kun je mijn volgende redenatie misschien volgen.

Omdat de som van een irrationeel getal (bijvoorbeeld Pi) en een rationeel getal altijd een (verschillend) irrationeel getal oplevert, zijn er minstens evenveel zoveel irrationele getallen als rationele getallen. Bovendien levert het vermenigvuldigen van Pi met een geheel getal, óók een nieuw irrationeel getal op, dat echter per definitie ongelijk is aan een van de irrationele getallen die zijn verkregen door bij pi een geheel getal, op te tellen. Dus moeten er méér irrationele getallen zijn dan rationele getallen.

Ik wil best aannemen dat er meer irrationale getallen zijn dan rationale, dat is gewoon een gevolg van het diagonaalbewijs van cantor maar ik betwijfel dat de bovenstaande redenering daar een geldig bewijs voor is. Maar goed.

Als dat zo is, dan moeten er minstens twee (groot understatement) irrationele getallen zijn, waartussen zich geen rationele getallen bevinden. Echter in dat geval is de definitie van het ene irrationele getal, volgens de theorie ook geldig voor het andere irrationele getal, en moeten deze twee irrationele getallen noodzakelijkerwijs dezelfde zijn.
Dit is een ongerijmdheid. Er is dus iets mis met deze theorie. (welke van de equivalente theoriën dan ook).

Raar hoor, dit komt er gewoon op neer dat de structuur van de getallen tegen bepaalde van onze intuïties ingaat. Waarom zou dat op een probleem met de theorie moeten wijzen? Wiskunde zit vol van dat soort contra-intuïtieve resultaten. Ik zie alleen geen reden om van iets contra-intuïtief over te stappen naar "ongerijmdheid" in de betekenis dat er dus iets mis met de theorie zou moeten zijn.

Het ware probleem zijn dus niet de irrationele getallen en ook niet de rationele getallen, maar het rekenen met onbegrensde dimensies op de getallenlijn, zowel in de richting "groter interval" als in de richting "kleiner interval". Dat is waarom Wildberger pleit voor eindige reeksen en eindig grote en eindig kleine getallen. Ze mogen best gigantisch groot of gigantisch klein zijn, maar we kunnen er alleen zinvolle uitspraken over doen, zolang ze in beide opzichten eindig zijn.

Hij doet maar, ik zie niet direct een reden om hem op dat vlak serieus te nemen. Als over oneindige zaken niets zinnigs te zeggen valt, dan is het ook onzinnig om de zeggen dat de even getallen een deelverzameling zijn van de natuurlijke getallen.

Ik heb dit probleem beschreven op het wetenschapsforum, en daar heeft niemand kunnen aantonen dat er géén ongerijmdheid in de definitie der reële getallen is. Ze komen niet verder dan wat ad-hominems, en een beroep op authoriteit.

Waarom zouden anderen moeten aantonen dat er geen ongerijmdheid in de definitie van de reële getallen zit? Wat wordt er ook maar bedoeld met een ongerijmdheid hier.

Net zoals jij zijn ze echter ook niet in staat om ongelijk te bekennen. Mogelijkerwijs is er iemand die wel - met geldige argumenten - kan aantonen (niet alleen maar beweren) dat ik ongelijk heb, maar ik heb hem of haar nog niet gevonden. Wildberger blijkbaar ook niet (tenzij hij ook al geen ongelijk kan bekennen, dat schijnt onder wiskundigen een groot probleem te zijn).

Ik ben geen expert op dit gebied maar voor zover ik op de hoogte ben is de theorie van de reële getallen consistent en compleet, dus de theorie produceert geen contradicties.

In het licht van dat resultaat ben ik benieuwd wat men nog meer verwacht wat betreft het aantonen van het ontbreken van ongerijmdheden.

Ik heb een opvallende gelijkenis aangetroffen tussen de manier waarop ik op het wetenschapsforum voor charletan werd uitgemaakt en de manier waarop dat Cantor indertijd overkomen is. toen hij zijn theorie der reële getallen introduceerde. Er is dus niet zoveel veranderd in de wiskundige wereld. Men verdedigt de indertijd verguisde theorie nu met dezelfde onvriendelijkheid als waarmee ze indertijd werd aangevallen. Het standpunt is gewijzigd, maar de methodes om afwijkende meningen te bekritiseren zijn nog altijd dezelfde.

Ik vind dat een onterechte vergelijking. Cantor kwam met een bewijs voor zijn stelling. Nu worden de zaken omgedraaid en wordt er blijkbaar van anderen verwacht dat ze bewijzen dat de opvatting van Wildberger niet klopt i.p.v. zelf met een degelijke logische redenering te komen die het gelijk van Wildberger aantoont.

Maar het lijkt er dus op dat jij het diagonaal bewijs van Cantor onzinnig vind. Nu ja dat is niet zo verwonderlijk als je werken met oneindigheden onzinnig vind.

Ik sta altijd open voor argumenten. maar niet voor welles en nietes.

Grappig hoor van iemand die niet op mijn argumenten ingaat vanuit de veronderstelling dat ik niet bekend ben met onderwerp.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Ik heb dit probleem beschreven op het wetenschapsforum, en daar heeft niemand kunnen aantonen dat er géén ongerijmdheid in de definitie der reële getallen is. Ze komen niet verder dan wat ad-hominems, en een beroep op authoriteit. Net zoals jij zijn ze echter ook niet in staat om ongelijk te bekennen. Mogelijkerwijs is er iemand die wel - met geldige argumenten - kan aantonen (niet alleen maar beweren) dat ik ongelijk heb, maar ik heb hem of haar nog niet gevonden. Wildberger blijkbaar ook niet (tenzij hij ook al geen ongelijk kan bekennen, dat schijnt onder wiskundigen een groot probleem te zijn).

En omdat niemand dat daar heeft aangetoond (volgens jouw) zijn die ongerijmdheden er wel.
Ze zijn echter nooit gevonden, worden ze gevonden dan pas is er een echt probleem.
Het beroep op autoriteit is heel gebruikelijk in de wetenschap sterker nog men kan niet meer zonder.
Maar die autoriteit moet wel verdiend worden.

Ik heb een opvallende gelijkenis aangetroffen tussen de manier waarop ik op het wetenschapsforum voor charletan werd uitgemaakt en de manier waarop dat Cantor indertijd overkomen is. toen hij zijn theorie der reële getallen introduceerde. Er is dus niet zoveel veranderd in de wiskundige wereld. Men verdedigt de indertijd verguisde theorie nu met dezelfde onvriendelijkheid als waarmee ze indertijd werd aangevallen. Het standpunt is gewijzigd, maar de methodes om afwijkende meningen te bekritiseren zijn nog altijd dezelfde.

Ik sta altijd open voor argumenten. maar niet voor welles en nietes.

Ik weet niet of ze je een charlatan hebben genoemd.
Maar wat je voor de rest schrijft deugt van geen kant, daar redeneringen die op eindige verzamelingen mogen worden losgelaten niet altijd gelden voor oneindige hoeveelheden, jij zondigt daar keer op keer tegen.

PS.
Het product van twee irrationele getallen kan best rationeel zijn.

[Peter van Velzen]

Beste Tiberius Claudius, inderdaad wordt mij verweten dat ik zaken die voor eindige hoeveelheden waar zijn toepas op oneindige hoeveelheden, maar wat ik in de bewering mis, is een REDEN waarom dit niet zou mogen. Met name - want daar gaat het om, hoe het in vredesnaam mogelijk zou kunnen zijn dat er (veel) meer irrationele getallen zouden zijn dan er rationele getallen zijn, als tussen elk paar irrationele getallen zich een rationeel getal moet bevinden om een separate defintie ervan mogelijk te maken? Waarom zou dit bezwaar niet gelden bij een oneindig groot aantal? Niemand die daar argumenten voor heeft aangedragen. Kun jij het uitleggen?

Ik zie de opmerking vooralsnog slechts als een dooddoener. Totdat iemand mij er de logica van uitlegt.
Dus volgens mij heeft niemand weerlegt dat ik een ongerijmdheid heb aangetoond.

NB
Inderdaad is wortel 2 x wortel 2 gewoon 2. Dat klopt.

[axxyanus]

Beste Tiberius Claudis, inderdaad wordt mij verweten dat ik zaken die voor eindige hoeveelheden waar zijn toepas op oneindige hoeveelheden, maar wat ik in de bewering mis, is een REDEN waarom dit bij oneindge hoeveelheden niet zou mogen.

Omdat oneindigheden nu juist gedefinieerd worden door zo'n verschil. Men definieert een verzameling als hebbende een oneindig aantal elementen als er een bijectie bestaat tussen de verzameling en een stricte deelverzameling. Het feit dat er een bijectie bestaat tussen de natuurlijke getallen en de even natuurlijke getallen is de reden waarom we de natuurlijke getallen een oneindige verzameling noemen. Iets dergelijks is bij eindige verzamelingen niet mogelijk.

Met name - want daar gaat het om, hoe het in vredesnaam mogelijk zou kunnen zijn dat er (veel) meer irrationele getallen zouden zijn dan er rationele getallen zijn, als tussen elk paar irrationele getallen zich een rationeel getal moet bevinden om een separate defintie ervan mogelijk te maken?

Dat kan omdat we dat formeel bewezen hebben. Dat we daar voor de rest niet bij kunnen hoe dat mogelijk is, is voor de theorie van geen belang. Ik kan begrijpen dat dat gebrek aan begrip voor een aantal mensen frustrerend kan zijn maar van dat persoonlijk gebrek aan begrip de stap maken dat er dan iets schort aan de theorie is een brug te ver.

Je kan je evengoed afvragen waarom het mogelijk is dat tussen elke twee natuurlijke getallen, evenveel rationale getallen zitten als er natuurlijke getallen zijn, dit terwijl het totaal aantal rationale getallen ook gelijk is aan het aantal natuurlijke getallen.

Waarom zou dit bezwaar niet gelden bij een oneindig groot aantal? Niemand die daar argumenten voor heeft aangedragen. Kun jij het uitleggen?

Omdat het geen wiskundig bezwaar is maar een bezwaar gebaseerd op persoonlijk ongeloof/ongemak met de theorie.

Ik zie de opmerking vooralsnog slechts als een dooddoener. Totdat iemand mij er de logica van uitlegt. Dus volgens mij heeft niemand weerlegt dat ik een ongerijmdheid heb aangetoond.

Maar jij hebt niet aannemelijk gemaakt dat je "ongerijmdheid" de theorie op enige manier op lossen schroeven zet.

Veel mensen beschouwen het als een ongerijmdheid dat -1 * -1 = 1. Negatief maal Negatief geeft positief, daar kunnen ze echt niet bij. Ik geef toe jouw "ongerijmdheid" is gesofistikeerder maar daarom niet voldoende om aan de theorie te twijfelen.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Beste Tiberius Claudis, inderdaad wordt mij verweten dat ik zaken die voor eindige hoeveelheden waar zijn toepas op oneindige hoeveelheden, maar wat ik in de bewering mis, is een REDEN waarom dit bij oneindge hoeveelheden niet zou mogen. Met name - want daar gaat het om, hoe het in vredesnaam mogelijk zou kunnen zijn dat er (veel) meer irrationele getallen zouden zijn dan er rationele getallen zijn, als tussen elk paar irrationele getallen zich een rationeel getal moet bevinden om een separate defintie ervan mogelijk te maken? Waarom zou dit bezwaar niet gelden bij een oneindig groot aantal? Niemand die daar argumenten voor heeft aangedragen. Kun jij het uitleggen?

Ik zie de opmerking vooralsnog slechts als een dooddoener. Totdat iemand mij er de logica van uitlegt.
Dus volgens mij heeft niemand weerlegt dat ik een ongerijmdheid heb aangetoond.

NB
Inderdaad is wortel 2 x wortel 2 gewoon 2. Dat klopt.

Dat zal je daar ook wel zijn uitgelegd, maar ik zal een poging doen.

Als je een verzameling hebt waarin bepaalde met bepaald definities en stellingen en je gaat die verzameling uitbreiden.
(de oude inbedden in een grotere is een betere omschrijving en dan loopt alles ook iets vlotter)
Dan moet van al die zaken worden nagegaan of ze nog zinvol zijn of geldig blijven.

Jij doet dat duidelijk niet, je gebruikt maar wat je uitkomt en bewijst niet dat ze geldig blijven.
Daardoor zijn je vondsten gewoon niet perse geldig.

Een voorbeeld is de uitbreiding van de reële naar de complexe getallen.

Daar blijkt de definitie groter kleiner niet zinvol.
Daar blijkt (z^v)^w=z^(vw) niet algemeen geldig.

PS.
Bij uitbreidingen op de middelbare school wordt hier meestal geen aandacht aan besteed.
Waardoor bij de scholier het idee ontstaat dat alles van zelf sprekend is.

[Peter van Velzen]

Beste Tiberius Claudius,

Ik begrijp je uitleg maar ik ken geen bewijs voor de bewering dat een aantal elementen van verzameling x veel groter kan zijn dan het aantal elementen van verzameling y terwijl er tussen elke twee elementen uit x altijd geldt dat er een element uit y bestaat dat groter is dan het ene element uit x maar kleiner dan het andere element uit x, uitgaande van de veronderstelling dat er oneindig veel elementen in beide verzameling voorkomen.

Jouw bewering dat zulks bewezen is, is helaas geen bewijs.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Beste Tiberius Claudius,

Ik begrijp je uitleg maar ik ken geen bewijs voor de bewering dat een aantal elementen van verzameling x veel groter kan zijn dan het aantal elementen van verzameling y terwijl er tussen elke twee elementen uit x altijd geldt dat er een element uit y bestaat dat groter is dan het ene element uit x maar kleiner dan het andere element uit x, uitgaande van de veronderstelling dat er oneindig veel elementen in beide verzameling voorkomen.

Jouw bewering dat zulks bewezen is, is helaas geen bewijs.

Kijk hier ga je dus al gelijk de mist in.

Je past het """meer en minder begrip""" toe van uit eindige verzamelingen toe op oneindige verzamelingen.
Dat kan dus niet zonder eerst te onderzoeken of dat wel mag.

Wat de grootte van een eindige verzameling is, dient trouwens eerst te worden vastgelegd door een deugdelijke definitie.

Ik dacht dat (nog) niet beweert te hebben, daar zijn we nog lang niet aan toe hoor.
Begin eerst maar eens met een goede definitie voor eindige verzamelingen.

[axxyanus]

Beste Tiberius Claudius,

Ik begrijp je uitleg maar ik ken geen bewijs voor de bewering dat een aantal elementen van verzameling x veel groter kan zijn dan het aantal elementen van verzameling y terwijl er tussen elke twee elementen uit x altijd geldt dat er een element uit y bestaat dat groter is dan het ene element uit x maar kleiner dan het andere element uit x, uitgaande van de veronderstelling dat er oneindig veel elementen in beide verzameling voorkomen.

Jouw bewering dat zulks bewezen is, is helaas geen bewijs.

Dat is ook niet in één stelling bewezen.

Je hebt cantor dat bewijst dat er geen bijectie mogelijk is tussen de reële getallen en de natuurlijke getallen en daarmee ook niet tussen de reële getallen en de rationale getallen.

Dan heb je een apart bewijs dat tussen twee willekeurige reële getallen steeds een rationaal getal bestaat.

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je hebt cantor dat bewijst dat er geen bijectie mogelijk is tussen de reële getallen en de natuurlijke getallen en daarmee ook niet tussen de reële getallen en de rationale getallen.

Meestal wordt het laatste eerst bewezen, dat is namelijk heel wat gemakkelijker.

PS.
Formeel moet ook nog bewezen worden dat gelijkmachtigheid transitief is, ander blijft men bezig.

[Peter van Velzen]

In zekere zin is het spreken van groter of kleiner bij oneindige verzamelingen niet eens zinvol. Maar desalniettemin beweren mensen (zoals Cantor) dat er grotere en kleinere oneindige verzamelingen bestaan. Dat heb ik niet bedacht.

Een verzameling x bevat volgens mij meer elementen dan verzameling y, als er een één op één relatie bestaat tussen elk element van een deelverzameling (x1) van verzameling x met elk element van verzameling y terwijl er in verzameling x ook nog elementen bestaan die buiten deze deelverzameling (x1) vallen.

Ik weet niet wat de officiële bewoording hiervan is, maar ze zal waarschijnlijk op hetzelfde neerkomen.

We raken echter nogal op een zijspoor. Ik wilde oorpronkelijk alleen maar stellen dat niemand de exacte waarde van PI ten opzichte van 1 kent, maar dat we wel steeds nauwkeuriger antwoorden hiervoor hebben. Iemand heeft er al 70.030 cijfers van Pi uit het hoofd geleerd, het team van numberphile heeft al en stuk papier uitgerold dat een miljoen cijfers van PI bevatte, en inmiddels schijnt men al twee quadrilioen cijfers (amerikaans systeem) cijfers er van te hebben bepaald (in onze telling meen ik 2 biljard = 2.000 biljoen) maar dat is nog altijd niet de ultieme waarde, en die zal ook nooit gevonden worden als Pi inderdaad een irratoneel getal is (ik ken het bewijs daarvan niet, maar het zal wat ingewikkelder zijn dan het simpele bewijs voor de wortel uit 2).

[TIBERIUS CLAUDIUS]

Je definitie is onbevredigend.
Het betekent dat er verzamelingen zijn die ongelijk aan zichzelf zijn.

Nogmaals:
Het begrip ultieme waarde bestaat niet in de wiskunde.
Het begrip zoeken naar ""de ultieme waarde"" is net zoiets als zoeken naar ""De Steen Der Wijzen"".

Hoe een getal wordt genoteerd hangt van het notatie systeem af waarvoor is gekozen.
Jij blijft maar vasthouden aan een notatie visie die al eeuwen is losgelaten.
Je blijft getallen zien als het resultaat van tellen wat al snel onvoldoende blijkt.

[axxyanus]

In zekere zin is het spreken van groter of kleiner bij oneindige verzamelingen niet eens zinvol. Maar desalniettemin beweren mensen (zoals Cantor) dat er grotere en kleinere oneindige verzamelingen bestaan. Dat heb ik niet bedacht.

Dat hangt van de betekenis af. Is de verzameling van even natuurlijke getallen kleiner dan de verzameling van alle natuurlijke getallen? Het antwoord is ja, als je wil zeggen dat de even natuurlijke getallen een deelverzameling is van alle natuurlijke getallen. Het antwoord is neen als je over cardinaliteiten praat.

Een verzameling x bevat volgens mij meer elementen dan verzameling y, als er een één op één relatie bestaat tussen elk element van een deelverzameling (x1) van verzameling x met elk element van verzameling y terwijl er in verzameling x ook nog elementen bestaan die buiten deze deelverzameling (x1) vallen.

Ik weet niet wat de officiële bewoording hiervan is, maar ze zal waarschijnlijk op hetzelfde neerkomen.

Wat jij hier schrijft is niet bruikbaar. Met de bovenstaande definitie kan je bewijzen dat de natuurlijke getallen meer elementen bevat dan de gehele getallen. Want je hebt een bijectie (één op één relatie) tussen alle natuurlijke getallen behalve nul en tussen alle gehele getallen. Dus heb je in de verzameling van natuurlijke getallen het getal 0 over.